PROJETO DE ALGORITMOS PARA RESOLU¸C˜AO DE ...

o operador de projeção ortogonal que, como já foi apontado, pode ser computacionalmente
caro de calcular.
Uma versão preliminar deste algoritmo foi publicada em [60].
No contexto da discretização do algoritmo contínuo, o controle ótimo de Liapunov é
aplicado no cálculo do comprimento do passo a fim de minimizar a norma quadrado de
um resíduo ou erro. A maior dificuldade neste processo consiste na escolha adequada
desse resíduo. Efetivamente, o problema de desigualdade variacional pode ser planteado
como um problema de minimização da norma de um resíduo, o qual poderia ser definido
das seguintes maneiras:
a) r(x) = x − x ∗
b) r(x) = ‖x − x ∗ ‖
c) r(x) = (x − x ∗ ) T f(x)
d) r(x) = e(x) = x − Pr χ [x − f(x)]
No caso c), se a função objetivo satifazer (5.14), r(x) = 0 se e somente se x = x ∗ .
O desconhecimento a priori do ponto ótimo x ∗ impossibilita a utilização dos três
primeiros resíduos no cálculo do comprimento do passo. No caso do quarto resíduo,
seu cálculo exige a utilização da projeção ortogonal, o que pretendemos evitar aqui.
Tentaremos, portanto, escolher um outro valor de resíduo que não apresente os
problemas mencionados.
5.8.1 Cálculo do comprimento do passo por controle ótimo de
Liapunov
Seja a lei de atualização das variáveis
u k := − [ σ(x k )f(x k ) + D T g (x k )Λuhsgn(g(x k )) + D T h(x k )Γsgn(h(x k )) ] (5.75)
Então, a discretização de (5.71) por Euler, com comprimento do passo α k pode ser
escrita:
x k+1 = x k + α k u k (5.76)
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