PROJETO DE ALGORITMOS PARA RESOLU¸C˜AO DE ...

Este método apresenta similaridades com o método de gradiente descendente (ou
steepest descent, ver [79, c. 5]) pois, para o caso particular P = I:
n∑
ẋ = − ∇f i (x)sgn(f i (x))
i=1
e portanto a trajetória x(t) se desenvolverá ao longo de linhas de fluxo determinada
pela soma dos gradientes, corregidos pelos sinais de cada componente da função.
Neste ponto cabe destacar a relação entre os algoritmos apresentados, escolhidos
segundo a metodologia de CLF, com a metodologia LOC já mencionada na seção
anterior. Seja U = {u|‖u‖ ∞ ≤ 1}, esta consiste na escolha de uma lei de controle
u(r) ∈ U que faça a derivada temporal da função de Liapunov candidata ˙V tão negativa
quanto possível. Por exemplo, dada uma função escalar g = −a T b tal que a,b ∈ R n ,
é evidente que o valor do vetor b, de norma 1, que minimiza g para qualquer valor do
vetor a é dado por b = sgn(a), que implica em g = −a T sgn(a) = −‖a‖ 1 . Assim, dada
a função (2.12), ˙V = −r T D f u(r), é evidente que a escolha de u ∈ U que minimiza ˙V
para qualquer valor de r e D f é dado por u = sgn(Df T r), que corresponde à escolha
VJT de lei de controle.
Porém, a escolha da planta é arbitrária, o qual nos permite escolher um outro
sistema como planta, por exemplo
ẋ = D −1
f
u (2.43)
a qual nos leva ao sistema ṙ = −D f ẋ = −u. Mantendo a mesma função de Liapunov
candidata (2.11),
˙V = −r T D f ẋ = −r T D f D −1
f
u = −r T u (2.44)
a qual nos leva à conclusão que a escolha ótima de u ∈ U que minimiza ˙V para
qualquer valor de r é dado por u = sgn(r), e portanto ẋ = D −1
f
sgn(r), que corresponde
ao algoritmo NV. Portanto, esta lei de controle pode ser vista como a função que
otimiza a dinâmica do sistema em malha fechada (LOC), dependendo apenas da escolha
particular da planta.
A escolha u = r em (2.44), nos leva a ˙V = −r T r = −‖r‖ 2 2, e ao sistema em malha
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