PROJETO DE ALGORITMOS PARA RESOLU¸C˜AO DE ...

eção do vetor f(x) permanece constante ([41, lema 2.1]), por enquanto sua norma vai
diminuindo exponencialmente com o tempo.
Analisando as linhas de fluxo das trajetórias de (2.68), se observa que, quanto mais
próximas do locus determinado pela equação D f (x) = x 2 = 0, o vetor da lei de atualização
das variáveis deveria aumentar em norma. Efetivamente, isto acontece no caso
da primeira componente do vetor, ẋ 1 . Mas quando a trajetória se aproxima da singularidade
estranha, esta norma vai se aproximando da unidade. Isto significa que
pode se esperar grandes pulos de trajetória perto da hipersuperfície det(D f (x)) = 0,
exceto nas proximidades das singularidades estranhas, onde o comportamento é mais
imprevisível. Quanto mais complexa for a função, evidentemente mais difícil é predeterminar
o percurso das linhas de fluxo. Simulações realizadas com a função de Branin
partindo de pontos próximos às singularidades estranhas mostraram que podem se produzir
grandes pulos (o que é esperável também nas proximidades de det(D f ) = 0) mas
também oscilações temporais.
Analisando a equação (2.68) para o algoritmo de Branin, ẋ = ±D −1
f
(x)f(x), observase
o seguinte comportamento: se a trajetória começar em um ponto inicial tal que
x 2 < 0 (por exemplo em x = [0 − 1] T ), e com sinal negativo, a trajetória tenderá ao
zero da função. Porém, quando o algoritmo discretizado atravessar o locus det(D f ) = 0
(x 2 = 0), muda o sinal, virando positivo; se x 2 < 1 (por exemplo em x = [0 1/2] T ),
então ẋ 2 < 0 e portanto a trajetória retornará à singularidade estranha, apresentando
um comportamento oscilatório ao redor desta (por exemplo, esta oscilação pode se
apresentar sobre o eixo x 1 = 0).
Conclusão: pela primeira conjectura de Branin, por ser as singularidades estranhas
selas ou nós instáveis, seriam pontos de repulsão das trajetórias. Porém, neste exemplo
fica claro que a singularidade estranha pode ser um ponto de atração para o algoritmo
de Branin, dependendo do comprimento do passo de iteração.
Hardy ([39]), propõe uma modificação ao algoritmo de Branin (2.59) destinada a
evitar este problema:
ẋ = −(−1) k sgn(det(D f (x)))D −1
f
(x)f(x) (2.69)
43