PROJETO DE ALGORITMOS PARA RESOLUÂ¸CËAO DE ...

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de maneira ilustrativa, estas demoras foram inconclusivas em quase todos os casos. 2) Realização de uma análise quantitativa de algumas das características dos algoritmos, o que permitiria a delimitação mais precisa do campo de aplicação de cada um destes. Por exemplo, uma análise mais exaustiva de como o algoritmo de Newton se vê afetado diante da presença de singularidades estranhas. Outro exemplo poderia ser a utilização das ferramentas oferecidas pela teoria de sistemas dinâmicos para análise das bacias de atração de cada zero, podendo assim prever as formas e tamanhos destas e melhorando portanto a previsibilidade de percurso das trajetórias a partir de um determinado ponto inicial. Foi notado que os algoritmos de segunda ordem apresentam maior sensibilidade ao valor dos ganhos que os algoritmos de primeira ordem, assim como a necessidade de uma escolha adequada do valor inicial da variável de controle. A robustes dos algoritmos com respeito a variações destes valores precisa ser testada. Uma análise das propriedades numéricas dos algoritmos apresentados forneceria, também, um elemento de comparação e delimitação da aplicabilidade destes. Analisar a relação com outros algoritmos tradicionais de otimização convexa, por exemplo, aqueles baseados em multiplicadores de Lagrange, ou no enfoque primal-dual. Finalmente, uma avaliação quantitativa dos erros dos pontos ótimos achados em todos os casos, assim como também, diante da presença de restrições, a quantificação da satisfação destas no ponto ótimo, se faz imprescindível para contribuir com a avaliação da eficiência dos algoritmos propostos. 3) Estudar a aplicação dos algoritmos em problemas com exigências diferentes. Por exemplo, permitir que as funções objetivos (em todos os casos) sejam descontínuas ou não diferenciáveis, o que exigiria que a lei de atualização das variáveis seja um mapeamento de conjunto (set valued maps), e a análise de funções com lado direito descontínuo através das ferramentas desenvolvidas por Filippov ([28]). No caso do problemas de otimização convexa, permitir que a função objetivo seja não convexa, e implementar outro algoritmo, talvez de segunda ordem, na fase de convergência com o intuito de ultrapassar mínimos locais dentro do conjunto viável para achar o mínimo global restrito. 4) Utilizar a teoria de controle e a metodologia CLF/LOC para a dedução de algoritmos capazes de resolver outros problemas de otimização. Por exemplo, no contexto de achar zeros de funções, dentre os muitos algoritmos contínuos existentes, a classe 277
de algoritmos de continuação ou homotopia [1, 2] também utiliza uma EDO do tipo (1.2) como ponto de partida dos métodos chamados preditor-corretor, entretanto, não há a utilização dos conceitos de controle no projeto e na análise destes algoritmos. Outro exemplo poderia ser a utilização da teoria de controle para o desenvolvimento de algoritmos para a resolução de problemas duais, no contexto de otmização convexa. 278
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Agradecimentos Em primeiro lugar, a
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Abstract of Thesis presented to COP
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2.5.4 Outras considerações sobre
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3.6 Conclusões deste capítulo . .
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5.13 Conclusões deste capítulo .
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de análise e síntese (ou projeto)
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de Bhaya e Kaszkurewicz. Porém, to
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a estabilidade do sistema. Já a me
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também outros algoritmos, podem se
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escalares convexas sujeitas a restr
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uma trajetória da variável x a pa
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e os algoritmos discretos assim des
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levando ao chamado sistema em malha
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De (2.9) e (2.3), pode-se escrever:
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det(D f (x)) = 0. 2) Segunda escolh
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existindo portanto convergência em
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Existe também a possibilidade de m
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fechada ẋ = D −1 f r que corres
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Observe-se também que ([41, lema 2
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O hessiano da função primitiva, e
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A partir deste gráfico podemos che
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1 0.8 0.6 Algoritmos de primeira or
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det(D f ) = 0, porém, a seguinte e
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Cabe destacar que Gomulka ([34]) n
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⎡ ⎣ − ∂f 1 ∂f 2 ∂ ∂x
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onde x ∗ = [0 1] T é um zero da
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onde k é o número de zero a ser l
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Observe-se que, assumindo f 2 (x)
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⇒ det(D f (x)) = 8a 2 x 2 1 − 8
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Para a constante c = 0.13, o determ
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dades estranhas. O algoritmo NV apl
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escolha do comprimento do passo α
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Este algoritmo coincide com a vers
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do vetor D T f (x k)f(x k ) seja ig
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Foi adotado como critério de parad
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0.8 0.6 0.4 Algoritmos discretos de
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Camelback Rosenbrock Branin x 0 it.
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onde ⎡ A = ⎢ ⎣ 4 4 4 4 1 1 1
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onde ⎡ A = ⎢ ⎣ ⎤ 10 3 17 3.
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DN DNV DJT DVJT DJTV N x 0 it. t[s]
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o hessiano da função. 2.6.3 Utili
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2.7.1 Função de Camelback Na fun
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d) Perto das fronteiras das faixas,
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a partir dos quais o algoritmo demo
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uma norma de valor elevado, as traj
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os pontos de comportamento similar
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2.7.3 Função de Branin. Constante
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1 0.8 0.6 0.4 0.2 x 2 0 f 2 =0 −0
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Caso a função φ(x) não seja con
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A primeira escolha será aquela cor
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Ver detalhes da prova em [6, teorem
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sistema será chamado de steepest d
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4 3.5 3 2.5 2 Algoritmos contínuos
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2.8.2 Discretização dos algoritmo
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e derivando com respeito a α k :
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tantes µ = 0 e ν = 1, então ∇
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derivados com a metodologia CLF/LOC
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todos os pontos iniciais testados.
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Capítulo 3 Algoritmos de segunda o
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A diferença dos algoritmos de prim
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3) Terceira escolha Planta ẋ = D
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Resumindo, a metodologia CLF/LOC se
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−0.6739, x 1 = −1.7737. Observe
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equação det(D f (x)) = x 2 1 −
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Algoritmos de segunda ordem contín
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e derivando com respeito a α k e i
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E substituindo em (3.18) e (3.19):
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DC2: u 0 = −Df Tf(x 0) DC3: u 0 =
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3.2.3.3 Simulações dos algoritmos
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0.8 0.6 0.4 Algoritmos de segunda o
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3.3 Algoritmos de segunda ordem par
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O autor demonstra que se φ(x) e U(
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Planta ẋ = u Substituindo em (3.3
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ordem, mas realizando uma convenien
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ordem, mas fazendo uma conveniente
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nome planta controlador ODE MI1 ẋ
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2 Algoritmos contínuos de segunda
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ultrapassa-la, para depois retornar
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mínimo estimado γ, de maneira tal
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E substituindo em (3.43) e (3.44):
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nome α k β k MI1 − ∇T φ∇ 2
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HBF: Γ = I DIN: a = b = 1 2 Algori
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função x 0 MI1 MI2 MI3 MI4 MI5 HB
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Capítulo 4 Algoritmo para otimiza
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exemplo, o interessante trabalho de
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Uma função é afim se a igualdade
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4.3 Descrição do problema Seguire
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a seguinte função de energia: E(x
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Em particular, se sobre uma superf
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Primeiramente, sera analisado o cas
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alternativa: V rp2 (x) = ‖x − x
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e a derivada de Lie expressada em (
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∀x ∈ ∂χ : ẋ ∈ F[m](x) =
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e de (4.47) e (4.48), concluimos: m
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12 Algoritmo contínuo. Trajetória
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sendo α k o comprimento do passo.
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comprimento do passo que, dentro de
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Problema 1 min x 2 1 + x2 2 s.t. x
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Exemplo 1 diversas trajetórias a p
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4.9 Algoritmo de gradiente projetad
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2 Exemplo 2 com o algoritmo de proj
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4.10 Conclusões deste capítulo Os
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Capítulo 5 Algoritmo para desigual
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se aqui um novo algoritmo contínuo
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Teorema 5.2.8 Seja Ω um subconjunt
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5.3 Descrição do problema Dado um
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fortemente para o caso da expressã
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5.3.1 Função de erro A resoluçã
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g) ∀x ∈ χ ‖x − Pr χ [x
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Nos casos em que a função f(x) n
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Solodov e Tseng ([75]) utilizam a c
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Este é o terceiro problema utiliza
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5.5 Algoritmos para a resolução d
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y ∗ ∈ R m e z ∗ ∈ R p tal q
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⇐) Se u = u ∗ ⇒ u ∈ Ω ⇒
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R n , y ∈ R m +, z ∈ R p } e
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Page 239 and 240: β k = 0. Além dessa dificuldade,
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Page 245 and 246: Calculamos ˙V rp (x) = [ D T g (x)
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Page 253 and 254: o operador de projeção ortogonal
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Page 259 and 260: estrições violadas no ponto x k+1
Page 261 and 262: e este novo vetor u terá o mesmo s
Page 263 and 264: Observe-se que esta é a condição
Page 265 and 266: Neste algoritmo, chamamos de x r ao
Page 267 and 268: 5.9 Algoritmo projetado O algoritmo
Page 269 and 270: 2 Exemplo 2 (número de iterações
Page 271 and 272: Sobre o conjunto Ω é trivial calc
Page 273 and 274: ⇒ r k+1 ≃ r k − α k [ D f (x
Page 275 and 276: e por LOC, derivando com respeito a
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Page 281 and 282: nas bibliografias referenciadas, se
Page 283 and 284: possibilita análises alternativas
Page 285 and 286: pelo plano de fase. Apesar destes i
Page 287: geral de otimização convexa que n
Page 291 and 292: [12] A. Bhaya and E. Kaszkurewicz.
Page 293 and 294: [43] S. Hedge and S. Kacera. Safegu
Page 295 and 296: [71] M. V. Solodov. A class of glob
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