PROJETO DE ALGORITMOS PARA RESOLU¸C˜AO DE ...

projeção ortogonal é trivial.
5.5.4 Algoritmo discreto de Goldstein-Levitin-Polyak
O algoritmo de Goldstein-Levitin-Polyak é um conhecido algoritmo discreto mencionado
em diversas bibliografias (ver, por exemplo, [38] e [83]). Este apresenta a seguinte lei
de atualização das variáveis:
x k+1 = Pr χ [x k − α k f(x k )] (5.56)
sendo α k um comprimento do passo escolhido adequadamente.
A seguir, estabeleceremos uma condição suficiente para a trajetória ser convergente
neste caso.
Definição 5.5.3 Função fracamente co-coerciva ([83]).
A função objetivo f(x) : R n → R n define-se como fracamente co-coerciva em χ se
∀x, y ∈ χ, ∃g(x,y) : R n × R n → R ++ tal que
[f(x) − f(y)] T (x − y) ≥ g(x,y)‖f(x) − f(y)‖ 2 (5.57)
Se para todo x, y ∈ χ, observa-se (5.57) e a função g(x,y) for maior que uma
constante positiva, então a função objetivo é co-coerciva.
Observe-se que a condição (5.57) é mais restritiva que a monotonicidade para todo
o conjunto viável.
A condição suficiente é enunciada no seguinte teorema:
Teorema 5.5.4 Seja o algoritmo com lei de atualização das variáveis x k+1 = Pr χ [x k − α k f(x k )],
sendo α k um comprimento do passo adequado, e seja a função objetivo f(x) fracamente
co-coerciva em χ com função g(x,y) tal que ∀x, y ∈ χ,
g(x,y) > α k
2
, então a distância
ao ponto ótimo é monotônicamente decrescente a cada iteração.
Prova:
Utilizando o fato que o operador de projeção ortogonal é não expansivo e assumindo
que a função objetivo observa (5.57):
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