PROJETO DE ALGORITMOS PARA RESOLU¸C˜AO DE ...

O método LOC será utilizado para otimizar o cálculo de α k .
Seguindo a abordagem utilizada no capítulo de otimização convexa, será escolhida
como função de energia
E(x) := σ(x)‖f(x)‖ 2 + g T (x)Λuhsgn(g(x)) + h T (x)Γsgn(h(x)) (5.77)
a qual apresenta um lado direito com descontinuidades sobre a fronteira do conjunto
viável.
Para fazer o cálculo do passo ótimo de iteração serão consideradas as trajetórias
dentro e fora do conjunto viável.
5.8.1.1 Fase de alcançar o conjunto viável
Nesta fase x k /∈ χ.
Fora do conjunto viável, o primeiro termo do lado direito de (5.77) se anula por ser o
fator σ(x k ) = 0, resultando a função de energia nos termos de penalização. Escolhendo
como resíduo nesta fase, esta função de energia:
r k := E(x k ) = g T (x k )Λuhsgn(g(x k )) + h T (x k )Γsgn(h(x k ))
A lei de atualização das variáveis (5.75) nesta fase é u k = −∇E(x k ), onde, similarmente
ao que acontece no caso contínuo, se anulam os termos que contêm as derivadas
das funções descontínuas.
Calculando o resíduo na iteração seguinte, aproximando por Taylor até o termo de
primeira ordem e utilizando (5.76):
r k+1 ≃ r k + ∇ T E(x k )(x k+1 − x k ) = E(x k ) − α k ∇ T E(x k )∇E(x k )
Nesta fase, a função de Liapunov candidata discreta será escolhida como o quadrado
do resíduo a ser minimizado:
V k = rk
2
⇒ ∆V k = V k+1 − V k = rk+1 2 − r2 k ≃
−2α k E(x k )‖∇E(x k )‖ 2 2 + αk 2‖∇E(x k)‖ 4 2
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