PROJETO DE ALGORITMOS PARA RESOLU¸C˜AO DE ...

Figura 4.5: Diagrama de blocos do sistema contínuo
4.7 Discretização do algoritmo
A diferença dos algoritmos apresentados na bibliografia que se limitam a tratar o caso
contínuo, discretizaremos aqui o algoritmo (4.23) calculando o comprimento do passo
ótimo, ao qual daremos o nome de algoritmo gradiente a estrutura variável. Utilizando
a nomenclatura da teoria de controle, define-se o resíduo ou erro como em (4.22):
r k := E(x k ) − σ(x k ) p ∗ ≥ 0
onde o min x∈χ f 0 (x) = p ∗ pode ser substituído por um valor γ estimado 5 tal que γ < p ∗ .
r k+1 = r k + ∇ T r(x k )(x k+1 − x k ) + h.o.t. ≃ r k + ∇ T r(x k )(x k+1 − x k ) =
r k + ∇ T E(x k )(x k+1 − x k )
Esta aproximação é válida sempre que σ(x k ) = σ(x k+1 ). Aqui desconsideramos
também o gradiente generalizado dos termos descontínuos observando que, por ser a
fronteira do conjunto viável parte deste, para toda iteração k : x k ∈ χ ou x k /∈ χ,
portanto, sem perda de generalidade, consideramos, para todo x k : ∇σ(x k ) = 0.
Discretizando a lei de atualização (4.23) por Euler (ver [4])
x k+1 = x k − α k ∇E(x k ) (4.50)
5 Existe a possibilidade, não pesquisada no presente trabalho, de utilizar um mínimo estimado
adaptativo, isto é, um valor variável a cada iteração tal que γ k = f(f(x k )).
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