PROJETO DE ALGORITMOS PARA RESOLUÂ¸CËAO DE ...

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2) Quanto maior o número de singularidades estranhas, maior a possibilidade do algoritmo de Newton discreto não convergir. Na função de Branin, por exemplo, na região próxima dos zeros esta quantidade é proporcional à constante c; observa-se nesse caso o aumento das regiões de não convergência com o aumento desta constante. Eis outra justificativa para a elaboração e utilização de outros algoritmos que não sejam afetados pela presença destas singularidades. 3) A visualização das bacias de atração de cada zero para as funções testadas e para cada algoritmo, mostrou que algumas apresentam formas geométricas mais regulares. Esta pode ser uma característica desejável pois implica um comportamento mais regular do algoritmo. 4) A utilização do time de algoritmos, embora implica um tempo de convergência obviamente maior do que a utilização de um algoritmo único, aumenta a possibilidade de convergência, podendo diminuir o número total de iterações, pois inicializa o algoritmo com melhor desempenho em um ponto de menor norma da função objetivo. 5) A escolha ótima do comprimento do passo calculado por LOC para os algoritmos discretos, garante a maior diminuição da norma do erro a cada iteração. Porém, existe a possibilidade de este cálculo ser indeterminado, o que provocaria a não convergência do algoritmo. Foram localizados estes pontos de indeterminação para cada algoritmo para as funções de Branin, de Rosenbrock e de Camelback. A seguir, serão apresentadas resumidamente algumas conclusões sobre os algoritmos para minimização de funções escalares convexas. 1) Quando o ortante onde se localiza o mínimo global da função é desconhecido, evidentemente os algoritmos SD e VSD contínuos são os únicos dos quatro capazes de garantir a convergência. O algoritmo LV2 só seria convergente se fosse testado a partir de pontos iniciais em cada ortante. 2) Outros algoritmos, inclusive globalmente convergentes poderiam ter sido derivados escolhendo como controlador Ψ(x) uma matriz positiva definida, como foi mencionado. 3) Dentre os algoritmos discretos, o SD é o que apresentou um menor número de iterações. O VSD também se mostrou eficiente a partir dos pontos iniciais testados para ambas funções de teste. 109
Capítulo 3 Algoritmos de segunda ordem destinados a achar zeros de funções vetoriais ou mínimos de funções escalares como sistemas dinâmicos de controle 3.1 Introdução No capítulo 2 foram abordados algoritmos de primeira ordem, isto é, algoritmos cujas leis de atualização das variáveis, no caso contínuo, podiam ser representadas por equações diferenciais de primeira ordem. Foram estudados algoritmos para achar zeros de funções vetoriais, apresentados por Bhaya e Kaszkurewicz em [13], [11] e [10], estudando-os como sistemas dinâmicos de controle em malha fechada e derivados através da metodologia de funções de Liapunov de controle e controle ótimo de Liapunov. Tais algorimos foram discretizados por Euler e seu comprimento de passo ótimo calculado pela metodologia de controle ótimo de Liapunov. Também, pelas mesmas metodologias, foram projetados algoritmos destinados a achar mínimos de funções escalares convexas. 110
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Agradecimentos Em primeiro lugar, a
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Abstract of Thesis presented to COP
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2.5.4 Outras considerações sobre
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de análise e síntese (ou projeto)
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de Bhaya e Kaszkurewicz. Porém, to
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a estabilidade do sistema. Já a me
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também outros algoritmos, podem se
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escalares convexas sujeitas a restr
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uma trajetória da variável x a pa
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e os algoritmos discretos assim des
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levando ao chamado sistema em malha
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De (2.9) e (2.3), pode-se escrever:
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det(D f (x)) = 0. 2) Segunda escolh
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existindo portanto convergência em
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Existe também a possibilidade de m
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fechada ẋ = D −1 f r que corres
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Observe-se também que ([41, lema 2
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O hessiano da função primitiva, e
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A partir deste gráfico podemos che
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1 0.8 0.6 Algoritmos de primeira or
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det(D f ) = 0, porém, a seguinte e
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Cabe destacar que Gomulka ([34]) n
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⎡ ⎣ − ∂f 1 ∂f 2 ∂ ∂x
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onde x ∗ = [0 1] T é um zero da
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onde k é o número de zero a ser l
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Observe-se que, assumindo f 2 (x)
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⇒ det(D f (x)) = 8a 2 x 2 1 − 8
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Para a constante c = 0.13, o determ
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dades estranhas. O algoritmo NV apl
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escolha do comprimento do passo α
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Este algoritmo coincide com a vers
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Capítulo 4 Algoritmo para otimiza
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exemplo, o interessante trabalho de
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Uma função é afim se a igualdade
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4.3 Descrição do problema Seguire
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a seguinte função de energia: E(x
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Em particular, se sobre uma superf
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Primeiramente, sera analisado o cas
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alternativa: V rp2 (x) = ‖x − x
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e a derivada de Lie expressada em (
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∀x ∈ ∂χ : ẋ ∈ F[m](x) =
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e de (4.47) e (4.48), concluimos: m
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12 Algoritmo contínuo. Trajetória
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sendo α k o comprimento do passo.
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comprimento do passo que, dentro de
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Problema 1 min x 2 1 + x2 2 s.t. x
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Exemplo 1 diversas trajetórias a p
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4.9 Algoritmo de gradiente projetad
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2 Exemplo 2 com o algoritmo de proj
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4.10 Conclusões deste capítulo Os
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Capítulo 5 Algoritmo para desigual
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se aqui um novo algoritmo contínuo
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Teorema 5.2.8 Seja Ω um subconjunt
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5.3 Descrição do problema Dado um
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fortemente para o caso da expressã
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5.3.1 Função de erro A resoluçã
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g) ∀x ∈ χ ‖x − Pr χ [x
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Nos casos em que a função f(x) n
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Solodov e Tseng ([75]) utilizam a c
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Este é o terceiro problema utiliza
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5.5 Algoritmos para a resolução d
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y ∗ ∈ R m e z ∗ ∈ R p tal q
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⇐) Se u = u ∗ ⇒ u ∈ Ω ⇒
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R n , y ∈ R m +, z ∈ R p } e
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projeção ortogonal é trivial. 5.
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β k = 0. Além dessa dificuldade,
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de GVI do algoritmo (5.55). Dentre
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senta algumas vantagens com respeit
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Calculamos ˙V rp (x) = [ D T g (x)
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ẋ (ver [68]): ∀x ∈ ∂χ :
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5.7 Execução do algoritmo O algor
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O exemplo 6 é implementado com gan
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o operador de projeção ortogonal
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Otimizando o comprimento do passo s
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Para esses valores de α k , consid
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estrições violadas no ponto x k+1
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e este novo vetor u terá o mesmo s
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Observe-se que esta é a condição
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Neste algoritmo, chamamos de x r ao
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5.9 Algoritmo projetado O algoritmo
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2 Exemplo 2 (número de iterações
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Sobre o conjunto Ω é trivial calc
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⇒ r k+1 ≃ r k − α k [ D f (x
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e por LOC, derivando com respeito a
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2 Algoritmo 3 projetado Exemplo 1 (
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nas bibliografias referenciadas, se
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possibilita análises alternativas
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pelo plano de fase. Apesar destes i
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geral de otimização convexa que n
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de algoritmos de continuação ou h
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[12] A. Bhaya and E. Kaszkurewicz.
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[43] S. Hedge and S. Kacera. Safegu
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[71] M. V. Solodov. A class of glob
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