PROJETO DE ALGORITMOS PARA RESOLU¸C˜AO DE ...

Planta
ẋ = u
Controlador
˙u = −∇φ(x) − au − b∇ 2 φ(x)u
Para analisar a convergência das trajetórias geradas por este algoritmo, será escolhida
a seguinte função de Liapunov candidata
V (x,u) = (ab + 1)φ(x) +
‖u + b∇φ(x)‖2
2
(3.39)
Derivando (3.39) com respeito ao tempo e aplicando as equações da planta e do
controlador, isto é, ao longo das trajetórias do sistema em malha fechada:
˙V
= (ab + 1)∇ T φ(x)u + (u + b∇φ(x)) T (−∇φ(x) − au − b∇ 2 φ(x)u + b∇ 2 φ(x)u)
= ab∇ T φ(x)u + ∇ T φ(x)u − u T ∇φ(x) − a‖u‖ 2 − b‖∇φ(x)‖ 2 + ab∇ T φ(x)u
= −a‖u‖ 2 − b‖∇φ(x)‖ 2
Por Barbalat, ˙V tende para zero e portanto u e ∇φ(x) também tendem para zero,
mas a trajetória poderia se estacionar então em um ponto de gradiente zero, dependendo
da escolha dos ganhos a possibilidade da trajetória ultrapassar mínimos locais.
Fazendo a mudança de variáveis proposta na planta e no controlador, isto é, ẋ = u
e ẍ = ˙u = −∇φ(x) − aẋ − b∇ 2 φ(x)ẋ, chega-se facilmente a (3.26).
Aqui também, com certeza existem outras funções de Liapunov candidatas, e outras
escolhas de planta e controlador que façam a derivada temporal desta negativa
semidefinida. As apresentadas aqui são apenas alguns exemplos.
A seguir, serão mostrados os algoritmos de maneira resumida na seguinte tabela:
143