PROJETO DE ALGORITMOS PARA RESOLU¸C˜AO DE ...

sendo α k o comprimento do passo.
⇒ r k+1 ≃ r k − α k ‖∇E(x k )‖ 2 2
Escolhe-se como função de Liapunov candidata discreta
V k = r 2 k = (E(x k) − σ(x k )γ) 2 > 0 (4.51)
⇒ ∆V k ≃ V k+1 − V k = r 2 k+1 − r2 k = (r k − α k ‖∇E(x k )‖ 2 2 )2 − r 2 k =
= r 2 k − 2r kα k ‖∇E(x k )‖ 2 2 + α 2 k ‖∇E(x k)‖ 4 2 − r 2 k =
(4.52)
= −2α k (E(x k ) − σ(x k ) γ)‖∇E(x k )‖ 2 2 + α2 k ‖∇E(x k)‖ 4 2
Seguindo a metodologia de controle ótimo de Liapunov, otimiza-se o comprimento
do passo α k
∂∆V k
∂α k
= −2(E(x k ) − σ(x k ) γ)‖∇E(x k )‖ 2 2 + 2α k‖∇E(x k )‖ 4 2 = 0
Portanto:
Substituindo em (4.52)
α k = E(x k) − σ(x k ) γ
‖∇E(x k )‖ 2 2
> 0 (4.53)
⇒ ∆V k ≃ −(E(x k ) − σ(x k )γ) 2 = −r 2 k = −V k < 0
sendo, portanto, o algoritmo gradiente a estrutura variável globalmente assintoticamente
convergente.
Observe-se que esta variação da função de Liapunov implica que V k+1 = 0, o qual
efetivamente aconteceria caso a função de energia seja linear e portanto a aproximação
por Taylor para o cálculo de r k+1 , exata. Por exemplo, este seria o caso se o ponto
x k /∈ χ violasse apenas uma restrição afim.
Destacamos que o comprimento do passo ótimo aqui calculado é diferente daqueles
mencionados em [48] e suas referências.
No caso de não ser possível estimar um valor γ tal que γ < p ∗ , condição exigida
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