PROJETO DE ALGORITMOS PARA RESOLU¸C˜AO DE ...

det(D f (x)) = 0.
2) Segunda escolha
u := D −1
f
sgn(r) (2.20)
Substituindo em (2.13):
˙V = −r T sgn(r) = −‖r‖ 1 (2.21)
a qual é negativa definida e só toma o valor 0 em r = 0, sendo assim o algoritmo
assintoticamente estável. A dinâmica do sistema em malha fechada está dada por:
ẋ = −D −1
f
sgn(f(x)) (2.22)
Este sistema dinâmico é chamado de Newton a estrutura variável (NV), e possui
como principal característica um lado direito descontínuo. Tais funções originam
sistemas a estrutura variável, e o comportamento típico das trajetórias na dinâmica
destes sistemas em malha fechada é o de modos deslizantes. Em particular, se sobre
uma superfície h i (x) = 0, as condições
lim
h i →0 + h i(x) < 0 e
lim
h i →0 − h i(x) > 0
se mantêm, então um deslocamento em modo deslizante ocorre sobre esta superfície
(ver [13, s. 4.3]).
Os sistemas dinâmicos com lado direito descontínuo, assim como a estabilidade
deles, foram inicialmente estudados em [28] e abordados em uma abundante bibliografia.
Por exemplo, em [68] e [8] condições de estabilidade são estudadas, em [59] estas
condições são aplicadas no controle de um robô manipulador. [32], [78] e [86] utilizam
sistemas a estrutura variável na resolução de problemas de otimização convexa. [23] faz
uma profunda análise das condições de existência e unicidade das trajetórias geradas
por este tipo de sistemas em diversas situações.
Em particular, para o sistema ẋ = f(x, t), com lado direito descontínuo, onde
f : R n ×R → R n é mensurável e essencialmente localmente limitada, define-se (ver [68,
20