PROJETO DE ALGORITMOS PARA RESOLU¸C˜AO DE ...

alternativa:
V rp2 (x) = ‖x − x ∗ ‖ 2 para algum x ∗ ∈ χ ∗ (4.34)
Esta função de Liapunov candidata é positiva para todo x /∈ χ e só será zero para
x = x ∗ . V rp2 (x) é Lipschitz contínua e continuamente diferenciável.
A derivada de Lie de (4.34) ao longo das trajetórias definidas por ẋ é dada por ([23,
p. 42] e [68]):
˙V rp2 (x) ∈ ¯LẋV rp2 (x) = 2(x − x ∗ ) T ẋ (4.35)
A seguir, demonstraremos que a trajetória x(t) a partir de um ponto inicial x 0 =
x(0) /∈ χ não se estaciona em um ponto x /∈ χ, isto é, que ˙V rp2 ≠ 0 nesta fase e para
este caso, através do teorema:
Teorema 4.5.2 Para todo x /∈ χ tal que existe i ∈ I(x) tal que f i (x) = 0 ou h i (x) = 0,
˙V rp2 (x) < 0, isto é, a trajetória não se estaciona em nenhum ponto x /∈ χ.
Prova:
Supondo inicialmente f i (x) = 0, para algum i ∈ I(x), o vetor ẋ nessa descontinuidade
pertence a −κ vezes o gradiente generalizado de E(x), o qual se define da seguinte
maneira ([23, p. 32], [68]):
ẋ ∈ −κ∂E(x) = co{ −κ [ D T f (x)Λuhsgn(f) + DT h (x)Γsgn(h)] ,
−κ [ D T f (x)Λuhsgn(f) + DT h (x)Γsgn(h) + λ i∇f i (x) ] }
(4.36)
onde co denota o fecho convexo entre vetores (ver [68]).
A derivada de Lie expressada em (4.35), resulta:
˙V rp2 (x) ∈ ¯LẋV rp2 (x) = 2 co {−κ(x − x ∗ ) T [ D T f (x)Λuhsgn(f) + DT h (x)Γsgn(h)] ,
−κ(x − x ∗ ) T [ D T f (x)Λuhsgn(f) + DT h (x)Γsgn(h) + λ i∇f i (x) ] }
Para todo x ∗ ∈ χ ∗ , x /∈ χ, j ∈ J(x): f j (x ∗ ) ≤ 0 e f j (x) > 0. Por condição de
primeira ordem das funções convexas:
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