PROJETO DE ALGORITMOS PARA RESOLU¸C˜AO DE ...

algoritmos apresentados em [67]), ou conferir se o ponto achado em cada iteração é
estacionário ([48]). [15] apenas limita o número de iterações.
Apresenta-se aqui um novo algoritmo para resolver problemas de otimização convexa
baseado em um sistema de controle a estrutura variável, cuja lei de atualização
das variáveis é projetada utilizando funções de controle de Liapunov (CLF), o qual não
mostra os inconvenientes apontados. Este é discretizado calculando o comprimento de
passo ótimo segundo a teoria de controle ótimo de Liapunov (LOC), resultando em
um algoritmo iterativo simples de implementar independentemente da dificuldade do
problema. Esta abordagem contrasta com aquela baseada na escolha do comprimento
do passo de iteração por secionamento do domínio, cuja dificuldade é proporcional à
dimensão do problema (número de variáveis, número de restrições, etc.). Uma versão
preliminar dos resultados aqui apresentados foram publicados em [61].
4.2 Preliminares
Serão apresentadas nesta seção diversas definições e lemas necessários para o desenvolvimento
do trabalho.
Definição 4.2.1 Conjunto convexo ([17, p. 23])
Um conjunto C é convexo se para todo x 1 , x 2 ∈ C e para todo escalar θ tal que
0 ≤ θ ≤ 1:
θx 1 + (1 − θ)x 2 ∈ C (4.1)
Definição 4.2.2 Função convexa ([17, p. 67])
Uma função f(x) : R n → R é convexa se para todo x 1 , x 2 ∈ domf e para todo
escalar θ tal que 0 ≤ θ ≤ 1
f(θx 1 + (1 − θ)x 2 ) ≤ θf(x 1 ) + (1 − θ)f(x 2 ) (4.2)
A função é estritamente convexa se a desigualdade é estrita para todo x 1 ≠ x 2 e
0 < θ < 1.
Definição 4.2.3 Função afim ([17, p. 67])
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