PROJETO DE ALGORITMOS PARA RESOLU¸C˜AO DE ...

e derivando com respeito a α k :
∂V k
∂α k
= −2(φ(x k ) − φ(x ∗ ))‖∇φ(x k )‖ 2 + 2α k ‖∇φ(x k )‖ 4 = 0
⇒ α k = φ(x k) − φ(x ∗ )
‖∇φ(x k )‖ 2
e
∆V k = −(φ(x k ) − φ(x ∗ )) 2 < 0
∀x ≠ x ∗
o que garante o decrescimento global da função de Liapunov. Mas para calcular o
comprimento do passo seria preciso conhecer o valor da função no ponto mínimo, que
é justamente o valor que pretende ser achado com o algoritmo, e portanto a priori
desconhecido.
Para solucionar este problema é possível substituir φ(x ∗ ) por um valor γ estimado
tal que γ < φ(x ∗ ), como utilizado em [61], ou, como realizado aqui, utilizar V k = r k .
Observe-se que, se a função φ(x) não for convexa, o hessiano não é positivo definido,
e a convergência do algoritmo não pode ser garantida. Por exemplo, o algoritmo não
está definido nos pontos tais que ∇φ(x k ) ∈ N(∇ 2 φ(x k )), que inviabiliza o cálculo do
comprimento do passo. Os pontos tais que ∇ 2 φ(x)∇φ(x) ≠ 0 mas ∇ T φ(x)∇ 2 φ(x)∇φ(x) =
0 zeram o comprimento do passo α, e portanto o algoritmo estaciona-se nestes pontos,
mesmo que x k ≠ x ∗ .
Isto é o que acontece com a função de Rosenbrock, com as constantes a = 0.5 e
b = 1, no ponto x = [−0.9776 2.6979] T .
Se a função for quaseconvexa, é possível que existam pontos onde ∇ 2 φ(x) ≺ 0, e
portanto o comprimento do passo α k será negativo; neste caso, a trajetória será descrita
no sentido do gradiente ascendente, tendendo a máximos locais, mas podendo também
se estacionar em selas.
2) Segunda e terceira escolha
Ambos casos serão tratados conjuntamente por serem inteiramente similares, mudando
apenas a expressão da função do controlador Ψ(x).
102