PROJETO DE ALGORITMOS PARA RESOLUÂ¸CËAO DE ...

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3.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 3.2 Algoritmos de segunda ordem destinados a achar zeros de funções vetoriais111 3.2.1 Simulações dos algoritmos de segunda ordem contínuos . . . . . 117 3.2.1.1 Simulações dos algoritmos contínuos com a função de Camelback . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 3.2.1.2 Simulações dos algoritmos contínuos com a função de Rosenbrock . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 3.2.1.3 Simulações dos algoritmos contínuos com a função de Branin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 3.2.2 Discretização dos algoritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 3.2.3 Simulações dos algoritmos de segunda ordem discretos . . . . . 127 3.2.3.1 Simulações dos algoritmos discretos com a função de Camelback . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 3.2.3.2 Simulações dos algoritmos discretos com a função de Rosenbrock . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 3.2.3.3 Simulações dos algoritmos discretos com a função de Branin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 3.3 Algoritmos de segunda ordem para achar mínimos de funções escalares como sistemas dinâmicos de controle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 3.4 Algoritmos contínuos de segunda ordem para achar mínimos de funções 137 3.4.1 Simulações dos algoritmos contínuos de segunda ordem para achar mínimos de funções escalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 3.4.1.1 Simulações dos algoritmos de segunda ordem contínuos com a função de Camelback invertida . . . . . . . . . . 145 3.4.1.2 Simulações dos algoritmos de segunda ordem contínuos com a função de Rosenbrock . . . . . . . . . . . . . . . 146 3.5 Discretização dos algoritmos contínuos de segunda ordem para achar mínimos de funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 3.5.1 Simulações dos algoritmos de segunda ordem discretos para achar mínimos de funções escalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 3.5.1.1 Simulações com a função de Camelback invertida . . . 155 3.5.1.2 Simulações com a função de Rosenbrock . . . . . . . . 156 viii
3.6 Conclusões deste capítulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 4 Algoritmo para otimização convexa baseado em sistema dinâmico gradiente projetado utilizando função de Liapunov de controle 160 4.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 4.2 Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 4.3 Descrição do problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 4.4 Função de energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 4.5 Análise da convergência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 4.5.1 Fase de alcançar o conjunto viável . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 4.5.2 Fase de convergência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 4.5.3 Fase sobre a fronteira do conjunto viável . . . . . . . . . . . . . 177 4.6 Simulação do algoritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 4.7 Discretização do algoritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 4.7.1 Critério de parada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 4.7.2 Implementação do algoritmo gradiente EV . . . . . . . . . . . . 186 4.8 Execução do algoritmo gradiente EV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 4.9 Algoritmo de gradiente projetado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 4.10 Conclusões deste capítulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 5 Algoritmo para desigualdades variacionais baseado em sistema dinâmico gradiente projetado utilizando uma função de Liapunov de controle 198 5.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 5.2 Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 5.3 Descrição do problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 5.3.1 Função de erro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 5.3.2 Propriedades da função de erro . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 5.3.3 O problema de otimização convexa como um caso particular de desigualdade variacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 5.3.4 Problemas equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 5.3.5 Desigualdades variacionais generalizadas . . . . . . . . . . . . . 214 5.4 Problemas de teste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 5.5 Algoritmos para a resolução de problemas de desigualdades variacionais 218 ix
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⇒ det(D f (x)) = 8a 2 x 2 1 − 8
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Para a constante c = 0.13, o determ
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dades estranhas. O algoritmo NV apl
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escolha do comprimento do passo α
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Este algoritmo coincide com a vers
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do vetor D T f (x k)f(x k ) seja ig
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Foi adotado como critério de parad
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0.8 0.6 0.4 Algoritmos discretos de
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Camelback Rosenbrock Branin x 0 it.
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onde ⎡ A = ⎢ ⎣ 4 4 4 4 1 1 1
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onde ⎡ A = ⎢ ⎣ ⎤ 10 3 17 3.
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DN DNV DJT DVJT DJTV N x 0 it. t[s]
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o hessiano da função. 2.6.3 Utili
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2.7.1 Função de Camelback Na fun
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d) Perto das fronteiras das faixas,
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a partir dos quais o algoritmo demo
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uma norma de valor elevado, as traj
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os pontos de comportamento similar
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2.7.3 Função de Branin. Constante
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1 0.8 0.6 0.4 0.2 x 2 0 f 2 =0 −0
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Caso a função φ(x) não seja con
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A primeira escolha será aquela cor
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Ver detalhes da prova em [6, teorem
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sistema será chamado de steepest d
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4 3.5 3 2.5 2 Algoritmos contínuos
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2.8.2 Discretização dos algoritmo
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e derivando com respeito a α k :
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tantes µ = 0 e ν = 1, então ∇
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derivados com a metodologia CLF/LOC
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todos os pontos iniciais testados.
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Capítulo 3 Algoritmos de segunda o
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A diferença dos algoritmos de prim
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3) Terceira escolha Planta ẋ = D
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Resumindo, a metodologia CLF/LOC se
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−0.6739, x 1 = −1.7737. Observe
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equação det(D f (x)) = x 2 1 −
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Algoritmos de segunda ordem contín
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e derivando com respeito a α k e i
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E substituindo em (3.18) e (3.19):
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DC2: u 0 = −Df Tf(x 0) DC3: u 0 =
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3.2.3.3 Simulações dos algoritmos
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0.8 0.6 0.4 Algoritmos de segunda o
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3.3 Algoritmos de segunda ordem par
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O autor demonstra que se φ(x) e U(
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Planta ẋ = u Substituindo em (3.3
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ordem, mas realizando uma convenien
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ordem, mas fazendo uma conveniente
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nome planta controlador ODE MI1 ẋ
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2 Algoritmos contínuos de segunda
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ultrapassa-la, para depois retornar
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mínimo estimado γ, de maneira tal
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E substituindo em (3.43) e (3.44):
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nome α k β k MI1 − ∇T φ∇ 2
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HBF: Γ = I DIN: a = b = 1 2 Algori
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função x 0 MI1 MI2 MI3 MI4 MI5 HB
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Capítulo 4 Algoritmo para otimiza
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exemplo, o interessante trabalho de
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Uma função é afim se a igualdade
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4.3 Descrição do problema Seguire
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a seguinte função de energia: E(x
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Em particular, se sobre uma superf
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Primeiramente, sera analisado o cas
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alternativa: V rp2 (x) = ‖x − x
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e a derivada de Lie expressada em (
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∀x ∈ ∂χ : ẋ ∈ F[m](x) =
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e de (4.47) e (4.48), concluimos: m
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12 Algoritmo contínuo. Trajetória
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sendo α k o comprimento do passo.
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comprimento do passo que, dentro de
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Problema 1 min x 2 1 + x2 2 s.t. x
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Exemplo 1 diversas trajetórias a p
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4.9 Algoritmo de gradiente projetad
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2 Exemplo 2 com o algoritmo de proj
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4.10 Conclusões deste capítulo Os
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Capítulo 5 Algoritmo para desigual
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se aqui um novo algoritmo contínuo
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Teorema 5.2.8 Seja Ω um subconjunt
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5.3 Descrição do problema Dado um
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fortemente para o caso da expressã
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5.3.1 Função de erro A resoluçã
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g) ∀x ∈ χ ‖x − Pr χ [x
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Nos casos em que a função f(x) n
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Solodov e Tseng ([75]) utilizam a c
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Este é o terceiro problema utiliza
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5.5 Algoritmos para a resolução d
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y ∗ ∈ R m e z ∗ ∈ R p tal q
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⇐) Se u = u ∗ ⇒ u ∈ Ω ⇒
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R n , y ∈ R m +, z ∈ R p } e
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projeção ortogonal é trivial. 5.
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β k = 0. Além dessa dificuldade,
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de GVI do algoritmo (5.55). Dentre
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senta algumas vantagens com respeit
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Calculamos ˙V rp (x) = [ D T g (x)
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ẋ (ver [68]): ∀x ∈ ∂χ :
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5.7 Execução do algoritmo O algor
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O exemplo 6 é implementado com gan
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o operador de projeção ortogonal
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Otimizando o comprimento do passo s
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Para esses valores de α k , consid
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estrições violadas no ponto x k+1
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e este novo vetor u terá o mesmo s
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Observe-se que esta é a condição
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Neste algoritmo, chamamos de x r ao
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5.9 Algoritmo projetado O algoritmo
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2 Exemplo 2 (número de iterações
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Sobre o conjunto Ω é trivial calc
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⇒ r k+1 ≃ r k − α k [ D f (x
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e por LOC, derivando com respeito a
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2 Algoritmo 3 projetado Exemplo 1 (
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2 Algoritmo 3 projetado Exemplo 2 (
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nas bibliografias referenciadas, se
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possibilita análises alternativas
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pelo plano de fase. Apesar destes i
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geral de otimização convexa que n
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de algoritmos de continuação ou h
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[12] A. Bhaya and E. Kaszkurewicz.
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[43] S. Hedge and S. Kacera. Safegu
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[71] M. V. Solodov. A class of glob
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