PROJETO DE ALGORITMOS PARA RESOLU¸C˜AO DE ...

3.2.2 Discretização dos algoritmos
Nesta seção, os algoritmos de segunda ordem serão discretizados pelo método de Euler,
e seus comprimentos dos passos de iteração calculados de maneira ótima pela metodologia
de controle ótimo de Liapunov.
Por serem algoritmos de segunda ordem, existe uma dinâmica tanto na planta
quanto no controlador, e as duas variáveis de estado x e u devem convergir aos valores
desejados. Esta é a razão pela qual o sistema comporta-se como um sistema bilinear,
e duas funções de Liapunov discretas serão escolhidas a fim de que os comprimentos
dos passos para as atualizações de ambas variáveis apresentem o maior decrescimento
destas funções de Liapunov candidatas discretas, segundo a metodologia de controle
ótimo de Liapunov.
Genericamente
x k+1 = x k + α k ϕ k (3.16)
onde ϕ k = ẋ e dependerá da escolha da planta.
u k+1 = u k + β k ψ k (3.17)
onde ψ k = ˙u e dependerá da escolha do controlador.
O resíduo discreto também aqui será escolhido como o valor de referência, 0, menos
o valor da função.
r k = −f(x k )
e aproximando por Taylor até o termo de primeira ordem
r k+1 ≃ r k − α k D f ϕ k
onde resumimos D f = D f (x k ).
Escolhendo como função de Liapunov discreta candidata para a variável de estado
V rk = r T k r k
⇒
∆V r = V rk+1 − V rk = ‖r k+1 ‖ 2 − ‖r k ‖ 2 = −2α k r T k D fϕ k + α 2 k ϕT k DT f D fϕ k
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