PROJETO DE ALGORITMOS PARA RESOLUÂ¸CËAO DE ...

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testados. 2) Mostrou-se a necessidade de implementar um critério de parada para os algoritmos discretos mais eficiente, pois o utilizado realiza algumas iterações a mais. 3) No caso da função objetivo não ser convexa, e apresentar mínimos locais e um mínimo global, existe a possibilidade, não pesquisada no presente trabalho, de utilizar outras funções diferentes do gradiente conjugado, mas seguindo a filosofia de implementação de um sistema de controle em malha fechada a estrutura variável. Alguns destes algoritmos a serem implementados podem ser o HBF (heavy ball with friction) e o DIN, apresentados em [3]. 4) Mostrou-se também a necessidade de realizar uma avaliação quantitativa dos erros produzidos pelos algoritmos (4.50) e (4.58), isto é, quantificar o erro na determinação do ponto ótimo achado e o nível de satisfação das restrições neste ponto. Dadas estas considerações, achamos que o conceito de chaveamento pode render futuras pesquisas que resultem em algoritmos mais eficientes. 197
Capítulo 5 Algoritmo para desigualdades variacionais baseado em sistema dinâmico gradiente projetado utilizando uma função de Liapunov de controle 5.1 Introdução O problema de desigualdades variacionais tem muitas aplicações importantes em uma ampla variedade de campos da ciência e da engenharia, os quais incluem economia de redes, engenharia de transportes, teoria de jogos, controle, processamento de sinais, sistemas de identificação, projetos de filtros, análise de regressão, projetos de estruturas, projetos mecânicos, planeamento de redes elétricas, entre outros (ver [26], [30] e suas referências). Também problemas de otimização tais como minimização de funções convexas restritas a um domínio convexo ou não, programação linear e quadrática, programação não linear, assim como problemas de minimax podem ser formulados como desigualdades variacionais. No capítulo referente a otimização convexa, foi apresentado um algoritmo contínuo destinado a resolver problemas de otimização convexa baseado em um sistema dinâmico 198
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Agradecimentos Em primeiro lugar, a
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Abstract of Thesis presented to COP
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2.5.4 Outras considerações sobre
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3.6 Conclusões deste capítulo . .
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5.13 Conclusões deste capítulo .
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de análise e síntese (ou projeto)
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de Bhaya e Kaszkurewicz. Porém, to
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a estabilidade do sistema. Já a me
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também outros algoritmos, podem se
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escalares convexas sujeitas a restr
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uma trajetória da variável x a pa
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e os algoritmos discretos assim des
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levando ao chamado sistema em malha
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De (2.9) e (2.3), pode-se escrever:
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det(D f (x)) = 0. 2) Segunda escolh
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existindo portanto convergência em
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Existe também a possibilidade de m
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fechada ẋ = D −1 f r que corres
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Observe-se também que ([41, lema 2
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O hessiano da função primitiva, e
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A partir deste gráfico podemos che
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1 0.8 0.6 Algoritmos de primeira or
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det(D f ) = 0, porém, a seguinte e
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Cabe destacar que Gomulka ([34]) n
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⎡ ⎣ − ∂f 1 ∂f 2 ∂ ∂x
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onde x ∗ = [0 1] T é um zero da
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onde k é o número de zero a ser l
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Observe-se que, assumindo f 2 (x)
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⇒ det(D f (x)) = 8a 2 x 2 1 − 8
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Para a constante c = 0.13, o determ
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dades estranhas. O algoritmo NV apl
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escolha do comprimento do passo α
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Este algoritmo coincide com a vers
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do vetor D T f (x k)f(x k ) seja ig
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Foi adotado como critério de parad
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0.8 0.6 0.4 Algoritmos discretos de
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Camelback Rosenbrock Branin x 0 it.
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onde ⎡ A = ⎢ ⎣ 4 4 4 4 1 1 1
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onde ⎡ A = ⎢ ⎣ ⎤ 10 3 17 3.
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DN DNV DJT DVJT DJTV N x 0 it. t[s]
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o hessiano da função. 2.6.3 Utili
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2.7.1 Função de Camelback Na fun
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d) Perto das fronteiras das faixas,
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a partir dos quais o algoritmo demo
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uma norma de valor elevado, as traj
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os pontos de comportamento similar
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2.7.3 Função de Branin. Constante
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1 0.8 0.6 0.4 0.2 x 2 0 f 2 =0 −0
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Caso a função φ(x) não seja con
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A primeira escolha será aquela cor
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Ver detalhes da prova em [6, teorem
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sistema será chamado de steepest d
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4 3.5 3 2.5 2 Algoritmos contínuos
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2.8.2 Discretização dos algoritmo
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e derivando com respeito a α k :
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tantes µ = 0 e ν = 1, então ∇
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derivados com a metodologia CLF/LOC
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todos os pontos iniciais testados.
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Capítulo 3 Algoritmos de segunda o
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A diferença dos algoritmos de prim
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3) Terceira escolha Planta ẋ = D
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Resumindo, a metodologia CLF/LOC se
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−0.6739, x 1 = −1.7737. Observe
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equação det(D f (x)) = x 2 1 −
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Algoritmos de segunda ordem contín
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e derivando com respeito a α k e i
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E substituindo em (3.18) e (3.19):
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DC2: u 0 = −Df Tf(x 0) DC3: u 0 =
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3.2.3.3 Simulações dos algoritmos
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0.8 0.6 0.4 Algoritmos de segunda o
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3.3 Algoritmos de segunda ordem par
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O autor demonstra que se φ(x) e U(
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Planta ẋ = u Substituindo em (3.3
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ordem, mas realizando uma convenien
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ordem, mas fazendo uma conveniente
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nome planta controlador ODE MI1 ẋ
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Page 167 and 168: HBF: Γ = I DIN: a = b = 1 2 Algori
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Page 177 and 178: 4.3 Descrição do problema Seguire
Page 179 and 180: a seguinte função de energia: E(x
Page 181 and 182: Em particular, se sobre uma superf
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Page 203 and 204: 4.9 Algoritmo de gradiente projetad
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Page 207: 4.10 Conclusões deste capítulo Os
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Page 219 and 220: 5.3.1 Função de erro A resoluçã
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estrições violadas no ponto x k+1
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e este novo vetor u terá o mesmo s
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Neste algoritmo, chamamos de x r ao
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5.9 Algoritmo projetado O algoritmo
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2 Exemplo 2 (número de iterações
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Sobre o conjunto Ω é trivial calc
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⇒ r k+1 ≃ r k − α k [ D f (x
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e por LOC, derivando com respeito a
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possibilita análises alternativas
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pelo plano de fase. Apesar destes i
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geral de otimização convexa que n
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de algoritmos de continuação ou h
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[12] A. Bhaya and E. Kaszkurewicz.
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[43] S. Hedge and S. Kacera. Safegu
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[71] M. V. Solodov. A class of glob
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