PROJETO DE ALGORITMOS PARA RESOLU¸C˜AO DE ...

g) ∀x ∈ χ
‖x − Pr χ [x − f(x)]‖ ≤ ‖f(x)‖ (5.25)
h) ∀x ∈ χ
f T (x) [x − f(x) − Pr χ [x − f(x)]] ≤ 0 (5.26)
i) ∀x ∈ χ
[x − Pr χ [x − f(x)]] T f(x) ≥ 0 (5.27)
De (5.24), (5.26) e (5.27) é fácil concluir que
0 ≤ ‖e(x)‖ 2 ≤ e T (x)f(x) ≤ ‖f(x)‖ 2 (5.28)
Lema 5.3.7 ([38] e [37]) Para todo x ∈ χ e dois escalares 0 < α 1 < α 2 , tomando
como função de erro (5.17), temos:
‖e(x, α 1 )‖ ≤ ‖e(x, α 2 )‖ (5.29)
‖e(x, α 1 )‖
α 1
≥ ‖e(x, α 2)‖
α 2
(5.30)
Lema 5.3.8 ([38] e [37]) Seja f : R n → R n um mapeamento Lipschitz contínuo estritamente
monôtono em um conjunto fechado convexo χ ⊂ R n , e seja x ∗ solução única
do problema VI(f, χ), então para todo x ∈ R n , existe uma constante C tal que
‖x − x ∗ ‖ ≤ C‖e(x)‖ (5.31)
Lema 5.3.9 ([85]) Seja f(x) : R n → R n um mapeamento contínuo fortemente monôtono
com respeito ao conjunto viável convexo χ ⊂ R n com módulo β > 0, e x ∗ solução única
do problema VI(f, χ), então, para todo ν > 1/β
‖x − x ∗ ‖ 2 ≤ 2νe(x, ν) T f(x) − ‖e(x, ν)‖ 2 ∀x ∈ χ (5.32)
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