PROJETO DE ALGORITMOS PARA RESOLU¸C˜AO DE ...

lei de atualização das variáveis f(x,u, t) seja f(u) = u, o sistema pode ser representado
como:
ẍ + Γ∇φ(x) = 0 (3.29)
onde fica explícita a qualidade de segunda ordem do sistema.
3.4 Algoritmos contínuos de segunda ordem para
achar mínimos de funções
Seja uma função φ(x) : R n → R limitada inferiormente no ponto x ∗ tal que para todo
x ∈ R n : φ(x) ≥ φ(x ∗ ) = φ min , contínua e com derivadas parciais contínuas, será
escolhida como função de Liapunov candidata a uma função escalar dependente de
todos os estados do sistema, isto é, da variável de estado x e da variável de controle u.
V (x,u) = φ(x) − φ min + uT u
2
≥ 0 (3.30)
a qual é maior que zero para todo x ≠ x ∗ e u ≠ 0.
A escolha desta função de Liapunov candidata, a qual depende de todos os estados
do sistema (variável de controle e variável de estado), equivale a assumir, no sistema
dinâmico em malha fechada, o sinal de referência como φ min , e a resposta da planta como
φ(x), de maneira tal que o primeiro termo de (3.30) corresponde a −r = φ(x) − φ min .
Derivando (3.30) com respeito ao tempo:
˙V (x,u) = ∇ T φ(x)ẋ + u T ˙u (3.31)
Este é o ponto de partida para a dedução de diferentes algoritmos de segunda ordem
como sistemas dinâmicos de controle em malha fechada, onde ẋ dependerá da
escolha da planta e ˙u dependerá da escolha do controlador, e ambos devem satisfacer
que ˙V seja negativa semidefinida, garantindo assim a estabilidade do sistema, segundo
o método de funções de Liapunov de controle.
1) Primeira escolha
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