PROJETO DE ALGORITMOS PARA RESOLU¸C˜AO DE ...

4
3.5
3
2.5
2
Algoritmos contínuos. Minimização de funções. Função de Rosembrock
f =0 1
f =0 2
[1;3]
[0.2;2.5]
[−0.5;2]
x 2
1.5
1
0.5
0
−0.5
sd
rlv µ=1 ν=1
rlv µ=1 ν=0.1
lv2
vsd
[−1;−0.5]
x *
[1.5;0.5]
[1.5;−0.5]
−1
−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2
x 1
Figura 2.34: Algoritmos contínuos para achar mínimos de funções
implementado com a função de Rosenbrock mostrando a convergência
das trajetórias
Todos os algoritmos foram capazes de achar o mínimo global a partir dos pontos
iniciais testados. Observe-se as trajetórias em modo deslizante geradas pelo algoritmo
VSD.
A continuação serão testados os algoritmos com a função apresentada no exemplo
1 do trabalho de Attouch e Teboulle [6]. A função exemplificada é dada por
φ(x) = 1 2
[
(x1 + x 2 + 1) 2 + 4(x 1 − x 2 − 1) 2] (2.141)
Esta função tem um gradiente linear, e portanto um hessiano constante, e apresenta
um único mínimo global em x ∗ = [0 − 1] T .
Observe-se que este mínimo não corresponde ao primeiro quadrante, estando o
mínimo deste quadrante localizado em x = [3/5 0] T . No segundo quadrante o mínimo
está localizado na origem de coordenadas.
Os pontos iniciais testados foram x 0 = [−1 0.5] T , x 0 = [1.5 0.5] T , x 0 = [−1 − 2] T ,
e x 0 = [1 − 2] T , um em cada quadrante, sendo que o algoritmo LVR só foi testado a
partir do ponto inicial localizado no primeiro quadrante.
Aqui também, o ganho κ dos sistemas SD, LV2, e VSD foi mantido unitário; a
constante µ do sistema LVR também foi mantida unitária, ao tempo que a constante
ν recebeu primeiramente o valor 1 e posteriormente o valor 0.1.
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