PROJETO DE ALGORITMOS PARA RESOLU¸C˜AO DE ...

5.9 Algoritmo projetado
O algoritmo apresentado na seção anterior, pode ter sua versão projetada sobre o
gradiente das restrições violadas quando as trajetórias saírem do conjunto viável, tal
como aplicado no capítulo referente a otimização convexa. Assim, uma vez que a
trajetória entra no conjunto viável, só se afastará deste se, neste ponto, a fronteira
for estritamente convexa, e não mais sairá se a restrição violada for afim. Assim,
procura-se diminuir o chattering caracterísico das trajetórias em modo deslizante, o
qual aumenta a previsibilidade da trajetória e a possibilidade de observar as condições
a) e b) anteriormente citadas.
Dado um vetor y, sabe-se que a matriz P y := I − yyT projeta um vetor sobre o
‖y‖ 2 2
hiperplano normal a y. Assim, definindo o operador de projeção:
⎧
⎨ u(x) se σ(x)(1 − σ(x + βu(x))) = 0
Proj(u(x),y)
⎩ P y u(x) se σ(x) = 1 e σ(x + βu(x)) = 0
(5.97)
sendo β > 0 um escalar suficientemente pequeno para garantir a violação de apenas
uma restrição no ponto x − βu(x).
Assim, chamando ¯x k = x k + βu k , se σ(x k ) = 1 e σ(¯x k ) = 0, então existe j tal que
f j (x k ) ≤ 0 e f j (¯x k ) > 0, ou h j (x k ) = 0 e h j (¯x k ) ≠ 0. A projeção será feita sobre o
gradiente desta função, e o escalar β escolhido de maneira tal que f j (¯x k ) ou h j (¯x k )
estejam arbitrariamente próximos de zero.
Portanto:
(
x r = x k − α k u k − σ(x k )(1 − σ(¯x k )) uT k ∇E(¯x )
k)∇E(¯x k )
∇ T E(¯x k )∇E(¯x k )
(5.98)
onde α k é calculado como na seção anterior e u k será f(x k ) ou ∇E(x k ), segundo estiver
no passo 1 ou 2 na implementação do algoritmo.
5.10 Execução do algoritmo discreto
O algoritmo será executado com os problemas 1, 2, 3 e 4. Em todos os casos, o conjunto
viável estará definido pela observância das restrições. A função objetivo será, em todos
os casos ∇f 0 (x), que por ser estritamente convexa em todos os casos o resultado único
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