PROJETO DE ALGORITMOS PARA RESOLU¸C˜AO DE ...

Cabe destacar que Gomulka ([34]) não esclarece como operacionalizar a derivada
da matriz.
Bhaya e Kaszkurewicz ([13]) apresentam a seguinte linearização:
g(x) := − adj (D f (x))f(x) = det(D f (x))ẋ
⇒ g(x) ≃ g(x 0 ) − ∂ adj(D f(x))f(x)
∂x ⌋x=x 0
(x − x 0 )
= − ∂ adj(D f(x))f(x)
∂x ⌋x=x 0
(x − x 0 )
[
]
= − ∂ adj(D f(x))
∂x ⌋x=x 0
F(x 0 ) − adj(D f (x 0 ))D f (x 0 ) (x − x 0 )
= − ∂ adj(D f(x))
∂x ⌋x=x 0
F(x 0 )(x − x 0 )
(2.63)
por ser adj(D f (x 0 ))D f (x 0 ) = det(D f (x 0 ))I = 0 e onde, dada uma matriz M, chamamos:
∂M
F := ∑ n ∂M
∂x i=1 ∂x i
F i e F i := [0... }{{} f ...0] ∈ Rn×n
coluna i
e no caso da equação (2.63), M = adj(D f (x)).
A seguinte equação também se verifica ([13]):
( ∂D
−1
ẋ = −
f
(x)
F ⌋x=x0 + I
∂x
)
(x − x 0 ) (2.64)
2.5.2.1 Algoritmo linearizado para n = 2
Por simplicidade, partindo de
g(x) := det(D f (x))ẋ ≃ − ∂ adj(D f(x))f(x)
(x − x 0 ) =
∂x
− ∂ adj(D f(x))
F(x 0 )(x − x 0 )
∂x ⌋x=x 0
e para n = 2:
⎡
adj(D f (x)) = ⎣
∂f 2
∂x 2
− ∂f 1
∂x 2
− ∂f 2
∂x 1
∂f 1
∂x 1
⎤
⎦
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