PROJETO DE ALGORITMOS PARA RESOLU¸C˜AO DE ...

e de (4.47) e (4.48), concluimos:
max ¯LẋV bp (x) ≤ 0
e portanto o sistema (4.45), para todo x ∈ ∂χ é estável ([23, teorema 1]).
Observe-se que, para todo x ∈ ∂χ, (x − x ∗ ) T ∇f 0 (x) = 0 se e somente se
i) f 0 (x) é afim
ii) a restrição violada em B(x, δ) ∩ (R n \χ) é afim,
iii) Neste caso, para todo x ′ ∈ χ, (x ′ − x) T f 0 (x) ≥ 0 e portanto x ∈ χ ∗ .
Portanto,
∀x ∈ ∂χ, x /∈ χ ∗ , ∇ T f 0 (x)(x − x ∗ ) > 0 (4.49)
No caso (x − x ∗ ) T g(x) = 0, para algum x ∈ ∂χ, a restrição violada em B(x, δ) ∩
(R n \χ) é afim e g(x) é perpendicular à fronteira do conjunto viável neste ponto. Se
x /∈ χ ∗ , pela equação (4.49), ∇f 0 (x) não é perpendicular à fronteira neste ponto, e
portanto 0 /∈ F[m](x), o que implica que ẋ ≠ 0 e as trajetórias não se estacionam
neste ponto, não sendo portanto um ponto de equilíbrio.
A seguinte figura ilustra este caso.
Figura 4.2: Vetores ∇f 0 (x) e g(x) para um ponto x ∈ ∂χ
tal que a restrição violada em um entorno de x é afim
Concluimos então que as trajetórias geradas pelo sistema (4.13)-(4.45), para todo
x ∈ ∂χ, convergem assintoticamente a um elemento do conjunto solução x ∗ ∈ χ ∗ .
Enunciamos, assim, o seguinte teorema.
Teorema 4.5.4 Para toda função objetivo convexa sujeita a restrições de desigualdade
convexas e de igualdade afins, todas diferenciáveis, a trajetória determinada pelo sis-
180