PROJETO DE ALGORITMOS PARA RESOLU¸C˜AO DE ...

um ponto x ∈ Ω é chamado de ponto fixo de f se
f(x) = x (5.1)
Definição 5.2.2 Um mapeamento f : Ω → Ω é um mapeamento de contração se
∀x,y ∈ Ω, 0 ≤ α < 1 : ‖f(x) − f(y)‖ ≤ α‖x − y‖
Quando α = 1 o mapeamento chama-se não expansivo.
Definição 5.2.3 Um mapeamento f(x) : Ω → Ω é Lipschitz contínuo se existe uma
constante L > 0 tal que
∀x, y ∈ Ω
‖f(x) − f(y)‖ ≤ L‖x − y‖
Teorema 5.2.4 Seja S espaço métrico completo e f : S → S um mapeamento de
contração, então existe um único ponto fixo de f (ver prova em [50, p. 8]).
Teorema 5.2.5 Teorema de Brouwer.
Seja f um mapeamento contínuo sobre um conjunto Ω ⊂ R n convexo compacto, nele
mesmo, então f : Ω → Ω admite pelo menos um ponto fixo (ver prova em [50, p. 8]).
Definição 5.2.6 Projeção ortogonal sobre um conjunto convexo.
Seja Ω um subconjunto fechado e convexo de um espaço de Hilbert real H, para todo
x ∈ H, define-se como a projeção ortogonal de x em Ω:
Pr Ω [x] = arg min ‖x − y‖ ∀y ∈ Ω (5.2)
y∈Ω
Lema 5.2.7 Seja Ω um subconjunto fechado e convexo de um espaço de Hilbert real
H, então para cada x ∈ H existe um único ponto y ∈ Ω tal que y = Pr Ω [x] (ver prova
em ([50, p. 8] e [26, p. 77]).
Note-se que para todo x ∈ Ω : Pr Ω [x] = x.
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