PROJETO DE ALGORITMOS PARA RESOLU¸C˜AO DE ...

das propriedades de estabilidade do sistema (2.10) e (2.12), o qual é obtido após uma
mudança local de coordenadas. O tipo de estabilidade, exponencial, assintótica ou em
tempo finito depende da lei de controle particular escolhida.
A seguir, serão apresentados cinco algoritmos de primeira ordem derivados com esta
metodologia e inicialmente apresentados em [13, c. 2].
1) Primeira escolha
u := D −1
f
Pr (2.15)
onde P é uma matriz positiva definida. Observe-se que com esta escolha, substituindo
em (2.13):
˙V = −r T Pr (2.16)
a qual é negativa definida e só toma o valor 0 em r = 0, sendo portanto o sistema
assintóticamente estável, estacionando-se apenas no ponto x tal que r(x) = 0. A
dinâmica do sistema em malha fechada está dada por:
ẋ = D −1
f
Pr = −D −1
f
Pf(x) (2.17)
Observe-se que, para P = I, este método coincide com o método de Newton contínuo
(CN), amplamente estudado na bibliografia, razão pela qual aqui também receberá
esse nome, mesmo com outro valor de ganho P.
Para a escolha particular P = αI, onde α > 0, podemos escrever (2.17) como
D f ẋ = −αf(x) ⇒
ḟ(x) = −αf(x) (2.18)
e para um determinado valor inicial da variável de estado x(0) = x 0 ∈ N(x ∗ ),
f(x(t)) = f(x 0 )e −αt (2.19)
sendo portanto o sistema exponencialmente estável. Observe-se que, apesar de (2.16)
ser negativa definida, a estabilidade pode ser apenas local, pois, pelo teorema 2.4.1,
estamos assumindo o jacobiano inversível apenas numa vizinhança N(x ∗ ), isto é, o algoritmo
nunca poderá atravesar as hipersuperfícies determinadas pelo locus da equação
19