PROJETO DE ALGORITMOS PARA RESOLUÂ¸CËAO DE ...

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Resumo da Tese apresentada à COPPE/UFRJ como parte dos requisitos necessários para a obtenção do grau de Doutor em Ciência (D.Sc.) PROJETO DE ALGORITMOS PARA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO UTILIZANDO FUNÇÕES DE LIAPUNOV COM CONTROLE Fernando Agustín Pazos Setembro de 2007 Orientador: Amit Bhaya Programa: Engenharia Elétrica Diversos problemas da ciência e da engenharia podem ser formulados como problemas de otimização. Quando a solução analítica destes problemas não é possível, existe o recurso de empregar métodos numéricos, ou algoritmos, para achar a solução. Muitos destes algoritmos podem ser interpretados como sistemas de controle em malha fechada. A teoria de controle oferece poderosas ferramentas de dedução e análise de algoritmos tanto discretos como contínuos, o que possibilita a dedução de novos algoritmos assim como uma nova perspectiva sobre aqueles já conhecidos na bibliografia. A contribuição desta tese consiste na dedução de algoritmos como sistemas dinâmicos de controle para a resolução de diversos problemas de otimização. Essa dedução esta baseada em funções de Liapunov de controle e controle ótimo de Liapunov. Os problemas abordados são os de achar zeros de funções vetoriais não lineares, achar mínimos de funções escalares, o problema geral de otimização convexa e desigualdades variacionais. iv
Abstract of Thesis presented to COPPE/UFRJ as a partial fulfillment of the requirements for the degree of Doctor of Science (D.Sc.) DESIGN OF ALGORITHMS TO SOLVE OPTIMIZATION PROBLEMS USING CONTROL LIAPUNOV FUNCTIONS Fernando Agustín Pazos September 2007 Advisor: Amit Bhaya Department: Electrical Engineering Several problems of science and engineering can be formulated as optimization problems. When analytical solutions are not possible, numerical methods, or algorithms, are used to find the solution. Many algorithms can be interpreted as closed loop control systems. Control theory offers powerful tools for deduction and analysis of algorithms, either continuous or discrete ones, which make possible the derivation of new algorithms as well as a new perspective on existing ones. The contribution of this thesis consists of the derivation of algorithms as dynamical control systems to solve several optimization problems. This approach is based on control Liapunov functions and Liapunov optimizing control. The problems solved are zero finding for nonlinear vector functions, minimization of scalar functions, the general problem of convex optimization and variational inequalities. v
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onde k é o número de zero a ser l
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Observe-se que, assumindo f 2 (x)
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⇒ det(D f (x)) = 8a 2 x 2 1 − 8
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Para a constante c = 0.13, o determ
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dades estranhas. O algoritmo NV apl
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escolha do comprimento do passo α
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Este algoritmo coincide com a vers
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do vetor D T f (x k)f(x k ) seja ig
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Foi adotado como critério de parad
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0.8 0.6 0.4 Algoritmos discretos de
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Camelback Rosenbrock Branin x 0 it.
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onde ⎡ A = ⎢ ⎣ 4 4 4 4 1 1 1
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onde ⎡ A = ⎢ ⎣ ⎤ 10 3 17 3.
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DN DNV DJT DVJT DJTV N x 0 it. t[s]
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o hessiano da função. 2.6.3 Utili
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2.7.1 Função de Camelback Na fun
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d) Perto das fronteiras das faixas,
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a partir dos quais o algoritmo demo
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uma norma de valor elevado, as traj
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os pontos de comportamento similar
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2.7.3 Função de Branin. Constante
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1 0.8 0.6 0.4 0.2 x 2 0 f 2 =0 −0
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Caso a função φ(x) não seja con
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A primeira escolha será aquela cor
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Ver detalhes da prova em [6, teorem
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sistema será chamado de steepest d
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4 3.5 3 2.5 2 Algoritmos contínuos
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2.8.2 Discretização dos algoritmo
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e derivando com respeito a α k :
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tantes µ = 0 e ν = 1, então ∇
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derivados com a metodologia CLF/LOC
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todos os pontos iniciais testados.
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Capítulo 3 Algoritmos de segunda o
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A diferença dos algoritmos de prim
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3) Terceira escolha Planta ẋ = D
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Resumindo, a metodologia CLF/LOC se
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−0.6739, x 1 = −1.7737. Observe
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equação det(D f (x)) = x 2 1 −
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Algoritmos de segunda ordem contín
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e derivando com respeito a α k e i
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E substituindo em (3.18) e (3.19):
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DC2: u 0 = −Df Tf(x 0) DC3: u 0 =
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3.2.3.3 Simulações dos algoritmos
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0.8 0.6 0.4 Algoritmos de segunda o
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3.3 Algoritmos de segunda ordem par
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O autor demonstra que se φ(x) e U(
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Planta ẋ = u Substituindo em (3.3
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ordem, mas realizando uma convenien
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ordem, mas fazendo uma conveniente
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nome planta controlador ODE MI1 ẋ
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2 Algoritmos contínuos de segunda
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ultrapassa-la, para depois retornar
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mínimo estimado γ, de maneira tal
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E substituindo em (3.43) e (3.44):
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nome α k β k MI1 − ∇T φ∇ 2
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HBF: Γ = I DIN: a = b = 1 2 Algori
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função x 0 MI1 MI2 MI3 MI4 MI5 HB
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Capítulo 4 Algoritmo para otimiza
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exemplo, o interessante trabalho de
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Uma função é afim se a igualdade
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4.3 Descrição do problema Seguire
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a seguinte função de energia: E(x
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Em particular, se sobre uma superf
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Primeiramente, sera analisado o cas
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alternativa: V rp2 (x) = ‖x − x
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e a derivada de Lie expressada em (
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∀x ∈ ∂χ : ẋ ∈ F[m](x) =
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e de (4.47) e (4.48), concluimos: m
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12 Algoritmo contínuo. Trajetória
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sendo α k o comprimento do passo.
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comprimento do passo que, dentro de
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Problema 1 min x 2 1 + x2 2 s.t. x
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Exemplo 1 diversas trajetórias a p
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4.9 Algoritmo de gradiente projetad
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2 Exemplo 2 com o algoritmo de proj
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4.10 Conclusões deste capítulo Os
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Capítulo 5 Algoritmo para desigual
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se aqui um novo algoritmo contínuo
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Teorema 5.2.8 Seja Ω um subconjunt
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5.3 Descrição do problema Dado um
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fortemente para o caso da expressã
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5.3.1 Função de erro A resoluçã
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g) ∀x ∈ χ ‖x − Pr χ [x
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Nos casos em que a função f(x) n
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Solodov e Tseng ([75]) utilizam a c
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Este é o terceiro problema utiliza
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5.5 Algoritmos para a resolução d
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y ∗ ∈ R m e z ∗ ∈ R p tal q
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⇐) Se u = u ∗ ⇒ u ∈ Ω ⇒
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R n , y ∈ R m +, z ∈ R p } e
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projeção ortogonal é trivial. 5.
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β k = 0. Além dessa dificuldade,
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de GVI do algoritmo (5.55). Dentre
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senta algumas vantagens com respeit
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Calculamos ˙V rp (x) = [ D T g (x)
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ẋ (ver [68]): ∀x ∈ ∂χ :
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5.7 Execução do algoritmo O algor
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O exemplo 6 é implementado com gan
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o operador de projeção ortogonal
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Otimizando o comprimento do passo s
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Para esses valores de α k , consid
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estrições violadas no ponto x k+1
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e este novo vetor u terá o mesmo s
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Observe-se que esta é a condição
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Neste algoritmo, chamamos de x r ao
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5.9 Algoritmo projetado O algoritmo
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2 Exemplo 2 (número de iterações
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Sobre o conjunto Ω é trivial calc
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⇒ r k+1 ≃ r k − α k [ D f (x
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e por LOC, derivando com respeito a
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2 Algoritmo 3 projetado Exemplo 1 (
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2 Algoritmo 3 projetado Exemplo 2 (
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nas bibliografias referenciadas, se
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possibilita análises alternativas
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pelo plano de fase. Apesar destes i
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geral de otimização convexa que n
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de algoritmos de continuação ou h
Page 291 and 292:
[12] A. Bhaya and E. Kaszkurewicz.
Page 293 and 294:
[43] S. Hedge and S. Kacera. Safegu
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[71] M. V. Solodov. A class of glob
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