PROJETO DE ALGORITMOS PARA RESOLUÂ¸CËAO DE ...

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O gradiente desta função é linear, e portanto seu hessiano constante. As simulações foram realizadas no programa Matlab 6. Em todos os casos, o critério de parada foi ‖f(x k )‖ ≤ 10 −4 . As funções Michalewicz, Shekel e Lennard-Jones tiveram seus gradientes e hessianos calculados em forma simbólica pelo programa Matlab utilizando o pacote Symbolic Toolbox. Mesmo que estas expressões sejam calculadas apenas uma vez, e a cada iteração o algoritmo apenas substitua nas expressões o valor do ponto corrente x k , este procedimento é extremadamente lento. Eis a razão pelo limitado número de variáveis com que foram testadas estas funções (no caso da função de Shekel, este número é fixo). As simulações foram consideradas falhas se o algoritmo não conseguiu atingir um zero do gradiente da função, manifestando um erro durante a execução deste, ou não atingiu o objetivo em até 300 iterações (no caso das funções mencionadas no parágrafo anterior, em até 30 iterações por causa da lentidão da execução). Os resultados das simulações são apresentados na seguinte tabela. 69
DN DNV DJT DVJT DJTV N x 0 it. t[s] it. t[s] it. t[s] it. t[s] it. t[s] x 0i = 0.5 28 1.15 - - - - 10 x 0i = −0.2 23 0.05 - - - - Rosenbrock [−0.5; 0; 0.2; 1.5] T 21 0.6 - - - - 4 [1.2; 1; 0; 1.5] T 10 0.27 - - - - [1.2; 0.1; 1.3; 0.3] T 7 6.37 - - - - 4 x 0i = 1 6 6.1 14 13.3 - - - Michalewicz x 0i = 0.5 7 12.2 - - 27 41.9 - 6 x 0i = −0.1 5 12.5 - 28 44.6 19 30.8 - [3.5; 4.5; 3.5; 4.5] T 7 6.65 10 9.39 - - - Shekel 4 x 0i = 1 3 3.41 5 5.39 29 24.3 5 5.43 5 8.08 [−2; 3; −5; 7] T 17 0.88 - - - - Powell 4 x 0i = 1 20 1.21 - - - - x 0i = 0.2 6 0.17 6 0 6 0.11 6 0 6 0 10 x 0i = −0.8 8 0 8 0 8 0 8 0.28 8 0.27 Rastrigin x 0i = −1.3 5 0.27 5 0.44 5 0.83 5 0.66 5 0.71 100 x 0i = 2.3 6 0.61 6 0.55 6 0.88 6 0.77 6 0.93 x 0i = 0.2 7 0.71 7 0.33 7 0.33 7 0.22 7 0.22 10 x 0i = −2.3 3 0.06 3 0.06 3 0.05 3 0.05 3 0.06 Schwefel x 0i = 0.2 8 1.1 8 0.94 8 1.59 8 1.37 8 1.54 100 x 0i = −2.3 3 0.33 3 0.71 3 0.6 3 0.55 3 0.6 x 0i = 2 2 0.05 2 0 2 0.05 2 0.11 2 0.11 10 x 0i = −3 2 0.06 2 0.05 2 0.17 2 0 2 0.06 Ackley x 0i = −0.2 4 0.6 4 1.26 4 1.53 4 1.37 4 1.43 100 x 0i = 0.05 11 1.97 11 1.87 11 3.9 11 3.73 11 3.85 x 0i = −1 14 1.1 - - - - 10 x 0i = −0.2 2 0.06 28 0.88 166 5.22 2 0.05 - x 0i = 5 167 5.21 - - - - Griewank x 0i = 0.5 3 0.44 - - - - 100 x 0i = 10 1 0.16 1 0.16 1 0.27 1 0.22 1 0.22 x 0i = 0.1 2 0.22 312 42.84 - - - x 0i = 0 13 0.5 - 291 7.53 5 0.16 - 10 x 0i = −2.5 - - 238 7.47 3 0.11 - Levy x 0i = 0 - - 136 26.8 5 0.99 - 100 x 0i = −2.5 - - 184 37.9 4 0.76 - x 0i = 0 2 0.66 17 0.6 9 0.71 3 0.44 22 0.66 10 x 0i = 2.5 3 0.22 35 1.04 21 0.66 287 9.12 - x 0i = −0.7 7 0.38 24 0.93 38 1.16 68 2.58 - Levy2 x 0i = 0 3 0.44 172 18.8 9 1.86 141 25.5 73 14.3 100 x 0i = 2.5 3 0.33 - 27 5.44 - - x 0i = −0.7 7 0.77 315 34.7 38 7.52 - - x 0i = −0.275 10 0.5 - 1 12 0.61 11 1.05 12 0.6 10 x 0i = π 4 8 0.33 - 1 8 0.38 8 0.05 8 0.11 Bump x 0i = − π 8 6 2.04 4 1.26 10 7.96 9 7.03 10 7.91 100 x 0i = 0.7 8 2.53 5 1.76 8 6.37 8 6.26 8 6.32 Lennard- [−0.1; 0; 0.1; 0.3] T - - 25 12.5 25 12.6 25 20.8 Jones 4 [−1; 2; 0; −0.5] T - - 5 3.03 5 2.92 5 4.66 x 0i = 0 8 0.93 2 0.44 8 0.71 8 0.55 8 0.61 Hartmann 3 3 [−0.5; 1.5; 0.2] T 5 0.16 1 0.06 5 0.28 5 0.17 5 0.11 x 0i = 0 - 206 7.36 - - - Hartmann 6 6 x 0i = 0.3 4 0.38 26 0.88 - - - Tabela 2.4 Resultados das simulações dos algoritmos discretos para funções de N variáveis 70
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PROJETO DE ALGORITMOS PARA RESOLUÇ
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Agradecimentos Em primeiro lugar, a
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Abstract of Thesis presented to COP
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2.5.4 Outras considerações sobre
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3.6 Conclusões deste capítulo . .
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5.13 Conclusões deste capítulo .
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de análise e síntese (ou projeto)
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de Bhaya e Kaszkurewicz. Porém, to
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a estabilidade do sistema. Já a me
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também outros algoritmos, podem se
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escalares convexas sujeitas a restr
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uma trajetória da variável x a pa
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e os algoritmos discretos assim des
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levando ao chamado sistema em malha
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equação det(D f (x)) = x 2 1 −
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Algoritmos de segunda ordem contín
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e derivando com respeito a α k e i
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E substituindo em (3.18) e (3.19):
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DC2: u 0 = −Df Tf(x 0) DC3: u 0 =
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3.2.3.3 Simulações dos algoritmos
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0.8 0.6 0.4 Algoritmos de segunda o
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3.3 Algoritmos de segunda ordem par
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O autor demonstra que se φ(x) e U(
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Planta ẋ = u Substituindo em (3.3
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ordem, mas realizando uma convenien
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ordem, mas fazendo uma conveniente
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nome planta controlador ODE MI1 ẋ
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2 Algoritmos contínuos de segunda
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ultrapassa-la, para depois retornar
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mínimo estimado γ, de maneira tal
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E substituindo em (3.43) e (3.44):
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nome α k β k MI1 − ∇T φ∇ 2
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HBF: Γ = I DIN: a = b = 1 2 Algori
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função x 0 MI1 MI2 MI3 MI4 MI5 HB
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Capítulo 4 Algoritmo para otimiza
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exemplo, o interessante trabalho de
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Uma função é afim se a igualdade
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4.3 Descrição do problema Seguire
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a seguinte função de energia: E(x
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Em particular, se sobre uma superf
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Primeiramente, sera analisado o cas
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alternativa: V rp2 (x) = ‖x − x
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e a derivada de Lie expressada em (
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∀x ∈ ∂χ : ẋ ∈ F[m](x) =
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e de (4.47) e (4.48), concluimos: m
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12 Algoritmo contínuo. Trajetória
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sendo α k o comprimento do passo.
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comprimento do passo que, dentro de
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Problema 1 min x 2 1 + x2 2 s.t. x
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Exemplo 1 diversas trajetórias a p
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4.9 Algoritmo de gradiente projetad
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2 Exemplo 2 com o algoritmo de proj
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4.10 Conclusões deste capítulo Os
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Capítulo 5 Algoritmo para desigual
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se aqui um novo algoritmo contínuo
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Teorema 5.2.8 Seja Ω um subconjunt
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5.3 Descrição do problema Dado um
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fortemente para o caso da expressã
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5.3.1 Função de erro A resoluçã
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g) ∀x ∈ χ ‖x − Pr χ [x
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Nos casos em que a função f(x) n
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Solodov e Tseng ([75]) utilizam a c
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Este é o terceiro problema utiliza
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5.5 Algoritmos para a resolução d
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y ∗ ∈ R m e z ∗ ∈ R p tal q
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⇐) Se u = u ∗ ⇒ u ∈ Ω ⇒
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R n , y ∈ R m +, z ∈ R p } e
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projeção ortogonal é trivial. 5.
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β k = 0. Além dessa dificuldade,
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de GVI do algoritmo (5.55). Dentre
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senta algumas vantagens com respeit
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Calculamos ˙V rp (x) = [ D T g (x)
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ẋ (ver [68]): ∀x ∈ ∂χ :
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5.7 Execução do algoritmo O algor
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O exemplo 6 é implementado com gan
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o operador de projeção ortogonal
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Otimizando o comprimento do passo s
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Para esses valores de α k , consid
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estrições violadas no ponto x k+1
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e este novo vetor u terá o mesmo s
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Observe-se que esta é a condição
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Neste algoritmo, chamamos de x r ao
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5.9 Algoritmo projetado O algoritmo
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2 Exemplo 2 (número de iterações
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Sobre o conjunto Ω é trivial calc
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⇒ r k+1 ≃ r k − α k [ D f (x
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e por LOC, derivando com respeito a
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2 Algoritmo 3 projetado Exemplo 1 (
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2 Algoritmo 3 projetado Exemplo 2 (
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nas bibliografias referenciadas, se
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possibilita análises alternativas
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pelo plano de fase. Apesar destes i
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geral de otimização convexa que n
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de algoritmos de continuação ou h
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[12] A. Bhaya and E. Kaszkurewicz.
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[43] S. Hedge and S. Kacera. Safegu
Page 295 and 296:
[71] M. V. Solodov. A class of glob
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