PROJETO DE ALGORITMOS PARA RESOLU¸C˜AO DE ...

4.9 Algoritmo de gradiente projetado
Neste novo algoritmo, quando a trajetória entra no conjunto viável, e o gradiente da
função de energia faz a trajetória sair, escolhe-se como lei de atualização a projeção do
vetor gradiente sobre a fronteira do conjunto viável (ou da restrição que estaria sendo
violada). Sabe-se que a matriz P y = I − yyT projeta um vetor sobre o hiperplano
‖y‖ 2 2
normal a y. Assim, definindo o algoritmo de projeção
⎧
⎨ ∇E(x) se σ(x)(1 − σ(x − β∇E(x))) = 0
Proj(∇E(x),y)
⎩ P y ∇E(x) se σ(x) = 1 e σ(x − β∇E(x)) = 0
(4.57)
sendo β um escalar suficientemente pequeno.
Este método de projeção foi utilizado em [45]. Assim, uma vez que a trajetória
entra no conjunto viável, só se afastará deste se, no ponto de saída, a fronteira for
estritamente convexa, e não mais sairá se a restrição violada for afim 7 .
O algoritmo tem a seguinte propriedade: ‖Proj(∇E(x),y)‖ ≤ ‖∇E(x)‖ (ver [45]).
Assim, chamando ¯x k = x k − β∇E(x k ), se σ(x k ) = 1 e σ(¯x k ) = 0, então existe j tal
que f j (x k ) ≤ 0 e f j (¯x k ) > 0, ou h j (x k ) = 0 e h j (¯x k ) ≠ 0. A projeção será feita sobre o
gradiente desta função, e o escalar β é escolhido de maneira tal que f j (¯x k ) ou h j (¯x k )
estejam arbitrariamente próximos de zero.
Portanto:
(
)
x k+1 = x k − α k ∇E(x k ) − σ(x k )(1 − σ(¯x k )) ∇T E(x k )∇E(¯x k )∇E(¯x k )
∇ T E(¯x k )∇E(¯x k )
(4.58)
onde α k é calculado como em (4.53).
Observe-se que este método de projeção é fundamentalmente diferente do método
de projeção ortogonal (4.12), utilizado em diversas bibliografias. Esta projeção pode
resultar de difícil avaliação, ou cara do ponto de vista computacional dependendo da
forma da fronteira do conjunto viável. Em [48] afirma-se que a avaliação desta projeção
só é simples no caso da fronteira ser de forma simples, por exemplo um hipercubo ou
7 Evidentemente, esta projeção não faz sentido no caso do algoritmo contínuo, porque neste já
acontece da trajetória ficar confinada ao conjunto viável uma vez dentro deste.
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