PROJETO DE ALGORITMOS PARA RESOLUÂ¸CËAO DE ...

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No caso do algoritmo discreto, as modificações realizadas ao comprimento do passo calculado por LOC para garantir convergência, podem ser caras do ponto de vista computacional, notadamente diante da presença de um grande número de restrições. Porém, o fato de não utilizar o operador de projeção ortogonal, que também pode ser caro de implementar, é uma vantagem evidente com respeito aos seus concorrentes. Dentre as principais contribuições desta tese, cabe destacar: • O estudo mais detalhado dos algoritmos de primeira ordem apresentados em ([13]) para achar zeros de funções vetoriais, incluindo bacias de atração de cada zero para diversas funções de teste, e admissão de ganhos nestes algoritmos. Foram estudadas as singularidades estranhas para o algoritmo de Newton, e as conseqüências da presença de singularidades estranhas tanto nos algoritmos contínuos quanto nos discretos. Estudo e apresentação de métodos de linearização do algoritmo de Newton, e estudo do algoritmo de Branin. Foram realizados testes com funções de mais de duas variáveis. Foi apresentada a utilização do “time” de algoritmos. • Foram desenvolvidos e testados algoritmos contínuos de primeira ordem para minimização de funções escalares convexas. Os algoritmos foram discretizados com comprimento de passo otimizado. Alguns dos algoritmos destinados a este fim, já conhecidos na bibliografia, foram interpretados como sistemas dinâmicos de controle e estudados utilizando a teoria de controle. • Foram desenvolvidos e testados algoritmos contínuos de segunda ordem para achar zeros de funções vetoriais. Os algoritmos foram discretizados com comprimento de passo otimizado. • Foram desenvolvidos e testados algoritmos contínuos de segunda ordem para minimização de funções escalares não necessariamente convexas. Os algoritmos foram discretizados com comprimento de passo otimizado. Os algoritmos já exisentes na bibliografia destinados a este fim, foram interpretados como sistemas de controle e estudados utilizando as ferramentas da teoria de controle. • Foi desenvolvido e testado um algoritmo contínuo para resolução do problema 275
geral de otimização convexa que não apresenta muitos dos inconvenientes de outros propostos na bibliografia. Este foi discretizado com comprimento de passo otimizado, e foi derivada uma versão projetada deste. O desempenho dos algoritmos discretos foi comparado com o de outros algoritmos. • Foram estendidos os lemas apresentados por Liao ([53, lemas 2.2 e 2.3]) ao caso geral de otimização convexa. • Foi desenvolvido e testado um algoritmo contínuo para a resolução do problema de desigualdades variacionais com exigências sobre a função objetivo e as restrições mais fracas que aquelas apresentadas por outros algoritmos presentes na bibliografia. O algoritmo foi discretizado com comprimento de passo otimizado, e foi derivada uma versão projetada deste. As condições de convergência do algoritmo discreto foram analisadas. • Discretização do algoritmo apresentado por Gao et.al. ([30]) com comprimento de passo otimizado por LOC. O trabalho realizado nesta tese possui um caráter claramente qualitativo, onde o objetivo principal foi a utilização da teoria de controle para o projeto e análise de algoritmos destinados a resolver diversos problemas de otimização. Porém, evidentemente não foram esgotadas todas as possibilidades de estudo dos algoritmos apresentados, e análises destes em diversas aplicações específicas, assim também como testes para diversos problemas particulares, ou de maior porte, se fazem imprescindíveis. Existe, portanto, a necessidade de prosseguimento do trabalho. Enumeraremos, resumidamente, algumas propostas de trabalho futuro. 1) Como já foi mencionado, testar a eficiência dos algoritmos em problemas de maior porte, isto é, com maior número de variáveis, e diante da presença de restrições, com um maior número destas, com o intuito de apreciar mais claramente as vantagens e desvantagens destes com respeito a outros apresentados na bibliografia, assim como delimitar melhor os campos de aplicação específicos para cada algoritmo. Em problemas de grande porte, também, o tempo de convergência poderia ser testado, oferecendo assim um novo elemento de comparação. Nos problemas pequenos aqui apresentados 276
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Agradecimentos Em primeiro lugar, a
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Abstract of Thesis presented to COP
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2.5.4 Outras considerações sobre
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3.6 Conclusões deste capítulo . .
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5.13 Conclusões deste capítulo .
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de análise e síntese (ou projeto)
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de Bhaya e Kaszkurewicz. Porém, to
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a estabilidade do sistema. Já a me
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também outros algoritmos, podem se
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escalares convexas sujeitas a restr
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uma trajetória da variável x a pa
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e os algoritmos discretos assim des
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levando ao chamado sistema em malha
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De (2.9) e (2.3), pode-se escrever:
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det(D f (x)) = 0. 2) Segunda escolh
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existindo portanto convergência em
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Existe também a possibilidade de m
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fechada ẋ = D −1 f r que corres
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Observe-se também que ([41, lema 2
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O hessiano da função primitiva, e
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A partir deste gráfico podemos che
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1 0.8 0.6 Algoritmos de primeira or
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det(D f ) = 0, porém, a seguinte e
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Cabe destacar que Gomulka ([34]) n
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⎡ ⎣ − ∂f 1 ∂f 2 ∂ ∂x
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onde x ∗ = [0 1] T é um zero da
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onde k é o número de zero a ser l
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Observe-se que, assumindo f 2 (x)
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⇒ det(D f (x)) = 8a 2 x 2 1 − 8
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Para a constante c = 0.13, o determ
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dades estranhas. O algoritmo NV apl
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escolha do comprimento do passo α
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Este algoritmo coincide com a vers
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do vetor D T f (x k)f(x k ) seja ig
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Foi adotado como critério de parad
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0.8 0.6 0.4 Algoritmos discretos de
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Camelback Rosenbrock Branin x 0 it.
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onde ⎡ A = ⎢ ⎣ 4 4 4 4 1 1 1
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onde ⎡ A = ⎢ ⎣ ⎤ 10 3 17 3.
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DN DNV DJT DVJT DJTV N x 0 it. t[s]
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o hessiano da função. 2.6.3 Utili
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2.7.1 Função de Camelback Na fun
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d) Perto das fronteiras das faixas,
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a partir dos quais o algoritmo demo
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uma norma de valor elevado, as traj
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os pontos de comportamento similar
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2.7.3 Função de Branin. Constante
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1 0.8 0.6 0.4 0.2 x 2 0 f 2 =0 −0
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1 0.8 0.6 0.4 0.2 x 2 0 f 2 =0 −0
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Caso a função φ(x) não seja con
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A primeira escolha será aquela cor
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Ver detalhes da prova em [6, teorem
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sistema será chamado de steepest d
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4 3.5 3 2.5 2 Algoritmos contínuos
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2.8.2 Discretização dos algoritmo
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e derivando com respeito a α k :
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tantes µ = 0 e ν = 1, então ∇
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derivados com a metodologia CLF/LOC
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todos os pontos iniciais testados.
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Capítulo 3 Algoritmos de segunda o
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A diferença dos algoritmos de prim
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3) Terceira escolha Planta ẋ = D
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Resumindo, a metodologia CLF/LOC se
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−0.6739, x 1 = −1.7737. Observe
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equação det(D f (x)) = x 2 1 −
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Algoritmos de segunda ordem contín
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e derivando com respeito a α k e i
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E substituindo em (3.18) e (3.19):
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DC2: u 0 = −Df Tf(x 0) DC3: u 0 =
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3.2.3.3 Simulações dos algoritmos
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0.8 0.6 0.4 Algoritmos de segunda o
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3.3 Algoritmos de segunda ordem par
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O autor demonstra que se φ(x) e U(
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Planta ẋ = u Substituindo em (3.3
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ordem, mas realizando uma convenien
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ordem, mas fazendo uma conveniente
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nome planta controlador ODE MI1 ẋ
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2 Algoritmos contínuos de segunda
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ultrapassa-la, para depois retornar
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mínimo estimado γ, de maneira tal
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E substituindo em (3.43) e (3.44):
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nome α k β k MI1 − ∇T φ∇ 2
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HBF: Γ = I DIN: a = b = 1 2 Algori
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função x 0 MI1 MI2 MI3 MI4 MI5 HB
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Capítulo 4 Algoritmo para otimiza
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exemplo, o interessante trabalho de
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Uma função é afim se a igualdade
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4.3 Descrição do problema Seguire
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a seguinte função de energia: E(x
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Em particular, se sobre uma superf
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Primeiramente, sera analisado o cas
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alternativa: V rp2 (x) = ‖x − x
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e a derivada de Lie expressada em (
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∀x ∈ ∂χ : ẋ ∈ F[m](x) =
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e de (4.47) e (4.48), concluimos: m
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12 Algoritmo contínuo. Trajetória
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sendo α k o comprimento do passo.
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comprimento do passo que, dentro de
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Problema 1 min x 2 1 + x2 2 s.t. x
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Exemplo 1 diversas trajetórias a p
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4.9 Algoritmo de gradiente projetad
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2 Exemplo 2 com o algoritmo de proj
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4.10 Conclusões deste capítulo Os
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Capítulo 5 Algoritmo para desigual
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se aqui um novo algoritmo contínuo
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Teorema 5.2.8 Seja Ω um subconjunt
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5.3 Descrição do problema Dado um
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fortemente para o caso da expressã
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5.3.1 Função de erro A resoluçã
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g) ∀x ∈ χ ‖x − Pr χ [x
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Nos casos em que a função f(x) n
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Solodov e Tseng ([75]) utilizam a c
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Este é o terceiro problema utiliza
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5.5 Algoritmos para a resolução d
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y ∗ ∈ R m e z ∗ ∈ R p tal q
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⇐) Se u = u ∗ ⇒ u ∈ Ω ⇒
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Page 239 and 240: β k = 0. Além dessa dificuldade,
Page 241 and 242: de GVI do algoritmo (5.55). Dentre
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Page 245 and 246: Calculamos ˙V rp (x) = [ D T g (x)
Page 247 and 248: ẋ (ver [68]): ∀x ∈ ∂χ :
Page 249 and 250: 5.7 Execução do algoritmo O algor
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Page 253 and 254: o operador de projeção ortogonal
Page 255 and 256: Otimizando o comprimento do passo s
Page 257 and 258: Para esses valores de α k , consid
Page 259 and 260: estrições violadas no ponto x k+1
Page 261 and 262: e este novo vetor u terá o mesmo s
Page 263 and 264: Observe-se que esta é a condição
Page 265 and 266: Neste algoritmo, chamamos de x r ao
Page 267 and 268: 5.9 Algoritmo projetado O algoritmo
Page 269 and 270: 2 Exemplo 2 (número de iterações
Page 271 and 272: Sobre o conjunto Ω é trivial calc
Page 273 and 274: ⇒ r k+1 ≃ r k − α k [ D f (x
Page 275 and 276: e por LOC, derivando com respeito a
Page 277 and 278: 2 Algoritmo 3 projetado Exemplo 1 (
Page 279 and 280: 2 Algoritmo 3 projetado Exemplo 2 (
Page 281 and 282: nas bibliografias referenciadas, se
Page 283 and 284: possibilita análises alternativas
Page 285: pelo plano de fase. Apesar destes i
Page 289 and 290: de algoritmos de continuação ou h
Page 291 and 292: [12] A. Bhaya and E. Kaszkurewicz.
Page 293 and 294: [43] S. Hedge and S. Kacera. Safegu
Page 295 and 296: [71] M. V. Solodov. A class of glob
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