PROJETO DE ALGORITMOS PARA RESOLU¸C˜AO DE ...

uma hiperesfera, para os outros casos, o problema de determinar a projeção ortogonal de
um ponto x sobre um conjunto convexo χ é em si mesmo um problema de programação
não linear que pode ser descrito como
min y
s.t.
‖y − x‖
y ∈ χ
Em contraste, a projeção aqui proposta consiste em apenas produtos escalares de
vetores.
Em seguida, serão apresentados os gráficos das trajetórias percorridas por este algoritmo,
utilizando os mesmos problemas descritos na seção anterior e a partir dos
mesmos pontos iniciais, mantendo os mesmos ganhos, o comprimento do passo (4.53)
e mínimos estimados. Em todos os casos o ponto ótimo e o valor mínimo da função
restrita foram achados.
Nestes gráficos pode-se observar que, em geral, o número de iterações no algoritmo
de gradiente projetado é menor que no caso anterior. Porém, esta característica não
se verifica em todos os problemas e a partir de todos os pontos iniciais. Entretanto, a
previsibilidade da trajetória (sempre beirando a fronteira do conjunto viável), faz este
algoritmo atrativo.
Exemplo 1 do algoritmo projetado (it , it até o mínimo)
2
1.5
(30,18)
h=0
região viável
1
0.5
f 2
=0
(29,17)
min x 1
2 +x2
2
st x 1
+x 2
+1≤ 0
(x 1
+1/2) 2 +x 2
2 −1≤ 0
2x 1
−x 2
+1=0
x 2
0
(22,10)
(29,17)
−0.5
x *
(25,13)
(34,22)
−1
−1.5
(34,22) (26,14)
f 1
=0
−2
−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2
x 1
Figura 4.10: Implementação do algoritmo gradiente EV para o problema 1
a partir de diversos pontos iniciais, mostrando convergência das trajetórias
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