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110 CAPÍTULO 10. ¢ § ¢ ¢¥£ £ ¢£ ¤ ¢¥£ ¡¤¥¡ ¢¡¤¥ <br />
−1 A<br />
¡ ¢ ¨ ¢ ¨ <br />
¡ <br />
¡ ¨ A ∈ Mn×n(IR) P ∈ Mn×n(IR) ¨ <br />
<br />
¤ A ¤ ¡ ¤ ¡ <br />
<br />
<br />
¡ ¢ ¨ ¤ ¡ ¢ ¦ α α<br />
−1<br />
P AP.<br />
A<br />
T<br />
A .<br />
¤ A ¤ α<br />
¡ ¤ T<br />
α A .<br />
¡<br />
¡ ¢ ¨ ¤ −1 <br />
A ¡ ¢ ¨ P AP .<br />
¨¥ ¨ <br />
α ¤ A ⇐⇒ det (A − α In) = 0<br />
<br />
⇐⇒ det (P P −1 AP P −1 − αIn) = 0<br />
⇐⇒ det (P (P −1 AP ) P −1 − αIn) = 0<br />
⇐⇒ det (P (P −1 AP ) P −1 − αP P −1 ) = 0<br />
⇐⇒ det (P (P −1 AP − αIn) P −1 ) = 0<br />
⇐⇒ det P det (P −1 AP − αIn) det (P −1 ) = 0<br />
⇐⇒ det P det (P −1 AP − αIn)<br />
⇐⇒ det (P −1 AP − αIn) = 0<br />
⇐⇒ α ¤ −1 P AP <br />
¡ ¢<br />
¢ A<br />
D Mn×n(IR) <br />
∈<br />
Q−1AQ = D ⇐⇒ (Q−1AQ) T = DT 1<br />
det P<br />
= 0<br />
¦ £¢ ¤ ¨ Q ∈ Mn×n(IR) <br />
⇐⇒ Q T A T (Q −1 ) T = D T<br />
⇐⇒ Q T A T Q T −1 = D T<br />
=⇒ A T ¡ ¢<br />
¦