α ∈ IR£¢ ¢ b = 0 Fa,0 (x, ax) + (y, ay) = (x + y, a(x + y)) ∈ F (x, ax) (y, ay) ¢ Fa,0 α(x, ax) = (αx, a(αx)) ∈ F ¡ IR 2 a ∈ IR ¢ F F = {(a, b, c, d) ∈ IR 4 | d = a + b c + d = 0} ¡ F ¡ IR 4 ¢ = {(a, b, −a − b, a + b) | a, b ∈ IR} = {(a, 0, −a, a) + (0, b, −b, b) | a, b ∈ IR} = {a(1, 0, −1, 1) + b(0, 1, −1, 1) | a, b ∈ IR} = 〈(1, 0, −1, 1), (0, 1, −1, 1)〉 0 1 −1 1 1 0 −1 1 195 ¢ (1, 0, −1, 1) (0, 1, −1, 1) § ¢ ((1, 0, −1, 1), (0, 1, −1, 1)) ¡ F dim F = 2 ¢ ¢ G 1 −1 0 0 1 1 −2 2 2 1 −3 3 −−−−→ ℓ2 − ℓ1 −−→ 1 2 ℓ2 1 3 ℓ3 −−−−→ ℓ1 + ℓ2 1 −1 0 0 0 2 −2 2 2 1 −3 3 1 −1 0 0 0 1 −1 1 0 1 −1 1 1 0 −1 1 0 1 −1 1 0 0 0 0 −−−−−→ ℓ3 − 2ℓ1 −−−−→ ℓ3 − ℓ2 1 −1 0 0 0 2 −2 2 0 3 −3 3 1 −1 0 0 0 1 −1 1 0 0 0 0 dim G = 2 G = 〈 (1, 0, −1, 1), (0, 1, −1, 1) 〉 = F F ∩ G = F ∩ F = F dim F ∩ G = dim F = 2.
196 CAPÍTULO 15. ¦£¦£ ££ £¢ dim(F + G) = dim F + dim G − dim F ∩ G det (Aγ − xI3) = = (1 − x) ¤ Aγ = dim F + dim G − dim F = dim G 1 − x 2 3 γ 2 − x 0 − 2 3 γ 2 3 3 − x 2 − x 0 2 3 − x 3 ¡ − 2 γ 0 − 2 γ 3 3 − x + 3 ¢ § £ ¡ ¢ ¨ ¥ § ¢ ¡ − 2 3 γ γ 2 − x = (1 − x)(2 − x)(3 − x) − 2γ(3 − x) + 3 2 2 γ + γ(2 − x) 3 3 = (1 − x)(2 − x)(3 − x) ¤ A ¢ α1 = 3 ¡ = (1) = (2) (3) = 1 γ 1 = A = Aγ=1 M1 ¢ = 1 α2 = 2 α3 ¤ α1 = 1 ¡ M1 = {X ∈ M3×1(IR) | (A − I3) X = 0} a 0 2 3 = b ∈ M3×1(IR) | 1 1 0 0 2 3 1 1 0 − 2 3 2 3 2 c −−−−−→ ℓ1 ↔ ℓ2 1 1 0 0 2 3 − 2 3 1 1 2 3 0 2 0 2 3 0 0 0 − 2 3 −−−−→ 3 2 ℓ3 2 3 2 a b c 1 1 0 0 2 3 −1 1 3 ¤ (A − I3) X = 0 © M1 = = = −−−−→ ℓ3 − ℓ2 a b c a b c −b b − 2 3 b = 0 0 0 2 3 1 1 0 −−−−→ ℓ3 + ℓ1 0 2 3 0 2 3 ∈ M3×1(IR) | a + b = 0 2b + 3c = 0 ∈ M3×1(IR) | a = −b c = − 2 3b −1 | b ∈ IR = 1 − 2 3
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