Introduktion til den specielle relativitetsteori - Niels Bohr Institutet

6 Relativistisk mekanik
z ′ S ′ S z
➀
➁
v
w
v
u/γ(v)
(a) Set fra S
u
x
z ′ S ′ S
−v
z
v
➀
➁
u/γ(v)
u
w
(b) Set fra S ′
Figur 6.1: To partikler bevæger sig med samme hastighed u men i modsat retning langs
de respektive z-akser i de to inertialsystemer S og S ′ og smelter sammen ved
sammenstødet. Af symmetri˚arsager m˚a systemets impuls langs z-aksen være
nul efter stødet. Ifølge antagelsen om impulsbevarelse m˚a det samme da være
tilfældet før stødet. Det følger heraf, at den relativistiske impuls m˚a være
givet ved udtrykket (6.4).
og smelter sammen til én partikel i det øjeblik S og S ′ er sammenfaldende (Figur 6.1).
Af symmetri˚arsager kan den nye, sammensmeltede partikel ikke have nogen hastighed i
z-retningen i nogen af systemerne. Impulsbevarelse i S betyder da, at de to partikler før
stødet m˚a have lige store z-impulser. Vi benytter nu udtrykket (6.4) for den relativistiske
impuls og finder
γ(u)mu = γ(w)mu
.
γ(v)
hvor venstresiden er (størrelsen af) z-impulsen af partiklen, der bevæger sig langs zaksen,
og højresiden er (størrelsen af) z-impulsen af partiklen, der bevæger sig langs
z ′ -aksen og har farten w i forhold til S. Ved at forkorte igennem med mu finder vi da
relationen
γ(u) = γ(w)
γ(v) .
Vi kunne nu vise, at denne relation er opfyldt ved at anvende transformationsegenskaberne
(3.18) for γ-funktionen. Imidlertid vælger vi at benytte os af et trick. Hertil
lader vi u → 0 (vi betragter alts˚a en sekvens af eksperimenter med stadig lavere værdi
af u), hvorved følgelig w → v. Ligningen ovenfor er dermed opfyldt, hvorved vi har
92
x