Introduktion til den specielle relativitetsteori - Niels Bohr Institutet

invariant
1 Fra det Newtonske til det specielle relativitetsprincip
Ved at differentiere venstresiderne af (1.4) med hensyn til t ′ og højresiderne med hensyn
til t f˚ar vi umiddelbart de klassiske hastighedstransformationer, som sammenknytter
hastighedskomponenterne for en partikel i bevægelse i S med dem i S ′
u ′ x = ux − v,
u ′ y = uy,
u ′ z
= uz,
(1.5)
hvor (ux, uy, uz) = (dx/dt, dy/dt, dz/dt) og (u ′ x, u ′ y, u ′ z) = (dx ′ /dt ′ , dy ′ /dt ′ , dz ′ /dt ′ ).
Sammensætning af parallelle hastigheder foreg˚ar alts˚a ved simple addition: Hvis man
f.eks. g˚ar fremad i et tog med 5 km/t (u ′ x), og toget kører 80 km/t (v), vil man bevæge
sig med 85 km/t (ux) i forhold til banelegemet. I den specielle relativitetsteori vil dette
ikke længere være tilfældet.
Ved at differentiere endnu engang, f˚as transformationsreglerne for accelerationen
a ′ x = ax,
a ′ y = ay,
a ′ z = az,
(1.6)
hvor a ′ x = du′ x /dt′ etc. Accelerationen er alts˚a den samme i de to systemer: Vi siger, at
accelerationen er invariant over for Galilei-transformationen.
Ved benyttelse af vektor-notation tager de ovennævnte sammenhænge den mere koncise
form
r ′ = r − vt,
u ′ = u − v,
a ′ = a,
(1.7)
hvor r, u og a er henholdsvis positions-, hastigheds- og accelerations-vektorene i S, de
mærkede symboler er de tilsvarende størrelser i S ′ , og v er hastigheden af S ′ relativ til S.
Indskud 1.1 Invariant og invarians
En invariant er noget, der er uændret under en transformation. Egenskaben at være en
invariant kaldes invarians. Se Appendiks A for en mere omfattende diskussion af begrebet
invarians i den specielle relativitetsteori.
1.4 Det Newtonske relativitetsprincip
Vi har set, at et inertialsystem er et referencesystem, i hvilket inertiens lov gælder. Antag
nu, at systemet S p˚a Figur 1.1 er et inertialsystem, s˚aledes at alle frie partikler heri
bevæger sig jævnt og retliniet. Idet, ifølge (1.5), konstante hastigheder i S transformerer
over i konstante hastigheder i S ′ , indser vi, at alle frie partikler ligeledes vil bevæge sig
4