Introduktion til den specielle relativitetsteori - Niels Bohr Institutet

6.4 De relativistiske bevarelseslove
6.4 De relativistiske bevarelseslove
Lad os for en kort bemærkning vende tilbage til udgangspunktet for vores opbygning
af den relativistiske mekanik, nemlig antagelsen om at 4-impulsen er bevaret i ethvert
partikelsammenstød. Denne antagelse fik udtryk gennem ligningerne (6.6) og (6.7), som
vi nu forst˚ar udtrykker henholdsvis bevarelsen af partikelsystemets relativistiske impuls
og totale energi. Bemærk, at relationerne (6.6) og (6.7) er henholdsvis rumlige og tidslige
komponenter af 4-vektoren-relationen (6.5). Men idet enhver 4-vektor transformerer
ved Lorentz-transformationen (5.11), som jo sammenblander de tidslige og rumlige komponenter,
indser man let, at hvis to givne 4-vektorer har identiske tidslige komponenter
i ethvert inertialsystem, s˚a m˚a ogs˚a deres rumlige komponenter være identiske, og
omvendt 1 . Det følger logisk heraf, at enhver af bevarelsessætningerne (6.6) og (6.7) hver
for sig medfører den fulde lov (6.5). Udtrykt anderledes, følger impulsbevarelsen som en
direkte konsekvens af energibevarelsen, og omvendt.
6.5 Sammenhængen mellem energi og impuls
Mellem energien, E, og den relativistiske impuls, p, kan vi udlede en betydningsfuld
relation ved at betragte kvadratet p˚a 4-impulsens. For denne f˚ar vi ved at benytte (6.13)
P 2 = P · P = E 2 /c 2 − p 2 . (6.15)
I partiklens hvilesystem, hvor p = 0 og E = mc 2 , reducerer udtrykket til
P 2 = m 2 c 2 . (6.16)
Da P 2 imidlertid er invariant, er de to udtryk ækvivalente, s˚aledes at
Da E er en positiv størrelse, har vi
E 2 = p 2 c 2 + m 2 c 4 . (6.17)
E = K + mc 2 = p 2 c 2 + m 2 c 4 . (6.18)
For sm˚a hastigheder, s˚aledes at pc ≪ mc2 , finder vi heraf
E = mc 2
1 + p2c2 m2
= mc2 1 +
c4 1 p
2
2
mc 2 + p2
2m ,
m2 + . . .
c2 hvorfor (6.18), som vi allerede tidligere har anført, g˚ar over i det klassiske udtryk med
K = p 2 /2m = 1
2 mv2 . For meget store hastigheder, s˚aledes at pc ≫ mc 2 , f˚as
E pc.
1 Situationen er parallel til det sædvanlige 3-dimensionale tilfælde: Hvis to givne vektorer har identiske
x-komponenter for enhver orientering af koordinatsystemet, s˚a m˚a de to vektorer være identiske.
97