Introduktion til den specielle relativitetsteori - Niels Bohr Institutet

5 Rumtiden og fire-vektorer
Idet ogs˚a c2 er en invariant, kan vi danne en tredje invariant ved at tage forholdet mellem
de to
dτ 2 ≡ ds2
c2
= dt2 1 − dx2 + dy2 + dz2 c2dt2
. (5.17)
I partiklens øjeblikkelige hvilesystem S ′ (alts˚a systemet, som i tidsrummet dt følger med
partiklen, s˚aledes at dx ′ = dy ′ = dz ′ = 0) reducerer (5.17) til dτ 2 = dt ′ 2 . Størrelsen dτ
er derfor identisk med den i Afsnit 3.2 definerede egentid.
Af (5.17) f˚ar vi nu
dτ 2
dt
u2
= 1 − ,
2 c2 hvor u er partiklens øjeblikkelige hastighed i S. Heraf følger sammenhængen
dt
dτ =
1
1 − u 2 /c 2
= γ(u). (5.18)
Vi har hermed direkte eftervist udtrykket for tidsforlængelsen p˚a differentiel form, som
vi benyttede allerede i (3.4).
5.8 Fire-hastigheden
Vi ønsker nu at konstruere en 4-vektor, der p˚a tilsvarende m˚ade, som vi kender det fra
det sædvanlige rum, angiver en hastighed. Lad os endnu engang bemærke, at vi ikke kan
danne en 4-vektor blot ved at tilføje en nulte-komponent til den sædvanlige hastighed
u =
dx
dt
dy dz
, ,
dt dt
. (5.19)
Her er (x, y, z) de tre rumlige komponenter af en 4-vektor. Men da t ikke er nogen
4-skalar, fremkommer der ikke komponenter af nogen 4-vektor, n˚ar vi differentierer
med hensyn til t. Dette kan man iøvrigt ogs˚a se direkte af transformationsligningerne
(3.10) for hastighedskomponenterne, idet disse ligninger ikke er identiske med Lorentztransformationen
(5.11).
Imidlertid kan vi danne en 4-vektor, hvis rumlige komponenter minder om den sædvanlige
hastighed, ved i (5.19) at erstatte differentiationen med hensyn til t med differentiation
med hensyn til den invariante egentid τ. Vi definerer derfor partiklens 4-hastighed
U som den afledede af 4-sted-vektoren X = (ct, x, y, z) med hensyn til egentiden τ
U ≡ dX
dτ =
c dt
dτ
, dx
dτ
Ved at benytte kædereglen for differentiation f˚as
U = c dt dx dt dy
, ,
dτ dt dτ dt
82
dy dz
, , . (5.20)
dτ dτ
dt dz
,
dτ dt
dt
,
dτ