Introduktion til den specielle relativitetsteori - Niels Bohr Institutet

3 Relativistisk kinematik
Vi har i forrige kapitel set, hvordan Einsteins postulat om lyshastighedens invarians
synes at stride mod den sunde fornuft og er i modstrid med den Newtonske kinematik. I
dette kapitel skal vi udforske den nye relativistiske kinematik, som imødekommer begge
Einsteins postulater. Dens hovedingredienser er længdeforkortningen, tidsforlængelsen
og den relativistiske lov for sammensætning af hastigheder. Den sidste har den bemærkelsesværdige
egenskab, at man kan “addere” enhver hastighed til lyshastigheden og
stadig f˚a lyshastigheden, og at man kan addere et vilk˚arligt antal underlyshastigheder
og stadig altid f˚a en underlyshastighed. I Afsnit 2.2 s˚a vi ved hjælp af kvalitative betragtninger,
hvorledes relativitetsprincippet og princippet om lyshastighedens invarians
m˚atte føre til en revideret opfattelse af grundlæggende fysiske begreber som samtidighed,
længde og varighed. Vi skal her gennemføre disse betragtninger p˚a en kvantitativ m˚ade,
idet vi ved hjælp af Lorentz-transformationen udleder udtryk for, hvordan længder og
tidsrum transformerer mellem inertialsystemer. En detaljeret diskussion af samtidighedsbegrebet
udsætter vi til Kapitel 5.
3.1 Længdeforkortningen
Til studiet af længders transformationsegenskaber betragter vi en stang AB, der er anbragt
i hvile langs x ′ -aksen i inertialsystemet S ′ , der bevæger sig p˚a sædvanlig m˚ade
med hastigheden v i forhold til et andet inertialsystem S (Figur 3.1). I S ′ vil stangens endepunkter
have konstante koordinater x ′ A og x′ B , hvis differens ∆x′ = x ′ B − x′ A definerer
stangens hvilelængde L0. I systemet S bevæger stangens sig med hastigheden v efter hvilelængde
x-aksen. I dette system m˚a dens længde L – undertiden kaldet vandrelængden – derfor
bestemmes i overensstemmelse med den tidligere vedtagne definition, idet der til ét og
samme tidspunkt afsættes mærker ud for stangens endepunkter. Har et s˚adant mærkepar
koordinaterne xA(t) og xB(t), er stangens vandrelængde alts˚a ∆x = xB(t) − xA(t), hvor
det er væsentligt, at det er den samme tid t, der indg˚ar i begge led. Ved at sætte ∆t = 0
i Lorentz-transformationens differens-form (2.16) finder vi nu sammenhængen mellem L
og L0
L = L0/γ = L0 1 − v2 /c2 . (3.1)
Heraf følger helt generelt, at et legeme i jævn retliniet bevægelse med hastigheden v i et
inertialsystem S er forkortet i dets bevægelsesretning med faktoren 1 − v 2 /c 2 . Dette
er den tidligere omtalte længdeforkortning. Den største længde forekommer s˚aledes i
systemet i hvilket stangen er i hvile, mens længden i et system, hvor stangens hastighed
nærmer sig lysets, vil g˚a mod nul.
43