Introduktion til den specielle relativitetsteori - Niels Bohr Institutet

6.7 Tyngdepunktssystemet og den invariante masse
Lad os betragte et vilk˚arligt inertialsystem S og i dette et system af partikler, der
lejlighedsvist vekselvirker via sammenstød men ellers er frie. Partiklerne bevæger sig
da jævnt mellem sammenstødene. Vi definerer nu systemets totale energi, totale impuls
og totale 4-impuls som den øjeblikkelige sum over de tilsvarende størrelser for hver af
partiklerne, alts˚a
E =
Ei, p =
p i, P =
Pi =
(Ei/c, p i) = (E/c, p). (6.22)
i
i
P˚a grund af bevarelseslovene er enhver af disse størrelser konstant i tiden.
Idet P er en sum af 4-vektorer, synes det ˚abenbart af den selv m˚a være en 4-vektor.
Helt s˚a simpelt er det imidlertid ikke. Havde enhver iagttager været enig om hvilke Pi’er,
der indgik i summen Pi, s˚a ville P klart være en 4-vektor. Men summen udregnes
jo til et bestemt tidspunkt i hvert system, og det kan dermed være forskellige Pi’er
der udgør summen i de forskellige systemer. Imidlertid gælder der jo 4-impulsbevarelse
ved hvert eneste sammenstød mellem to partikler, og i hvert system kunne man s˚aledes
foretage sin sum over præcis de samme Pi’er som i S, og f˚a det samme resultat som for
den øjeblikkelige sum (Figur 6.5). S˚a P er alts˚a virkelig en 4-vektor.
I almindelighed indeholder partikelsystemet b˚ade masseløse partikler og partikler med
endelig masse. Tilsvarende indeholder summen Pi b˚ade lysagtige (m = 0) og tidsagtige
(m > 0) 4-vektorer, som alle peger mod fremtiden. Man indser da let (f.eks.
gennem geometriske argumenter), at P vil være tidsagtig og pege mod fremtiden. Eneste
undtagelse herfra er tilfældet, hvor systemet best˚ar af udelukkende masseløse partikler,
der alle bevæger sig parallelt. I almindelighed findes der da et system, hvori de rumlige
komponenter af P er nul, alts˚a p = p i = 0. Dette system er tyngdepunktssystemet,
og heri er systemets 4-impuls
PCM = (Mc, 0), (6.23)
i
hvor M kaldes systemets invariante masse og er givet ved invariant masse
i
Mc = √ P 2 = E 2 /c 2 − p 2 , (6.24)
med E og p defineret ved (6.22). Vi ser alts˚a, at den invariante masse er for partikelsystemet,
hvad massen er for en enkelt partikel. Det er præcis den masse man ville m˚ale,
hvis man ikke var opmærksom p˚a systemets sammensatte natur (som for et makroskopisk
legeme, som er sammensat af molekyler i indbyrdes bevægelse). For et isoleret sys-
Lad os slutte af med den vigtige iagttagelse, at bevarelse af 4-impulsen leder til bevarelse
af den invariant masse. Den invariante masse er alts˚a bevaret for et ethvert isoleret
system.
6.7.1 Eksempel: Elektron-positron-sammenstød
Vi betragter en proces, hvor en elektron (e − ) og en positron (e + ) bringes til sammenstød.
Idet positronen er elektronens anti-partikel, kan de to partikler herved annihilere, og
den frigivne energi omdannes til andre partikler ifølge Einsteins formel E0 = mc 2 . I det
101
tem er den invariante
masse bevaret.