Introduktion til den specielle relativitetsteori - Niels Bohr Institutet

Opgaver til Kapitel 5
5.4 En 4-vektor har komponenterne (V0, V1, V2, V3) i et inertialsystem S. Find dens
komponenter (i) i et system der er sammenfaldende med S bortset fra, at retningen
af x- og y-akserne er vendt omkring; (ii) i et system som er sammenfaldende med
S undtagen for en 45 ◦ drejning af xy-planet omkring z-aksen; (iii) i et system der
har de rumlige akser parallelle med dem i S, men som bevæger sig med hastigheden
v i y-retningen.
5.5 Komponenten Aµ af en 4-vektor A er nul i ethvert inertialsystem. (Det er ligegyldigt
hvilken komponent man vælger: µ kan tage værdierne 0, eller 1, eller 2
eller 3.) Vis, at alle komponenter af A er nul i ethvert inertialsystem, d.v.s. A er
nulvektoren: A = 0 = (0, 0).
5.6 To 4-vektorer A og B er ortogonale: A · B = 0.
a) Vis, at de to vektorer ikke begge kan være tidsagtige.
b) Hvad kan vi sige om vektorene, hvis de begge er lysagtige?
c) Antag, at A er tidsagtig og B rumagtig. Hvad kan man sige om B = (B0, b)
i systemet, hvor a = 0? Hvad kan man sige om A = (A0,a) i systemet, hvor
B0 = 0?
d) Antag, at begge vektorer er rumagtige. Hvad kan man sige om B = (B0, b) i
systemet, hvor A0 = 0?
5.7 Verificer invariansrelationen
U 2 = c 2 ,
hvor U er en partikels 4-hastighed, ved direkte substitution for γ-faktoren i (5.23).
5.8 En rumraket bevæger sig væk fra jorden med hastigheden 0.8 c. Raketten p˚abegynder
en acceleration, der i rakettens hvilesystem har størrelsen 50 m/s 2 i en retning,
der danner en vinkel p˚a 45 grader med bevægelsesretningen. Bestem størrelsen og
retningen af accelerationen set fra jorden.
5.9 I et s˚akaldt “g-minus-2”-eksperiment holder man en str˚ale af muoner i cirkulær
bevægelse ved hjælp af et magnetfelt. Muonerne har en hastighed, der tilsvarer γ =
29.3, og radius i den cirkulære bevægelse er 7 m. Bestem muonernes acceleration
i laboratoriesystemet og i muonernes øjeblikkelige hvilesystem. Sammenlign med
tyngdeaccelerationen.
P˚a trods af den voldsomme acceleration har muonerne under disse betingelser den
sædvanlige middellevetid τ = 2.2 µsek. Dette udgør en eksperimentel p˚avisning af,
at muonerne udgør et ideelt ur, som omtalt i Afsnit 3.2. Idet muonstr˚alens intensitet
ved injektion betegnes I0 ønskes det bestemt, hvor mange omgange str˚alen
cirkulerer før intensiteten er I0/e.
87