Introduktion til den specielle relativitetsteori - Niels Bohr Institutet

3 Relativistisk kinematik
3.4 Tvillingeparadokset
Ingen fremstilling af relativitetsteorien ville være komplet uden at nævne det notoriske
ur- eller tvillingeparadoks. “Paradokset”, som tager sigte p˚a at tilbagevise tidsforlængelsen
som et ægte fysisk fænomen, udspringer af situationen vi diskuterede ovenfor, hvor
et ur, der transporteres fra A til B og tilbage igen, viser en mindre tid ved tilbagekomsten
end et ur i konstant hvile ved A. Ofte prydes historien ved, at urene erstattes
med to tvillinger, hvoraf den rejsende er yngre end den tilbageblevne ved genforeningen.
Paradokset fremkommer ved at hævde, at al bevægelse er relativ, og at den rejsende
dermed med lige s˚a stor ret kan hævde, at det var den tilbageblevne, der blev accelereret,
bevægede sig væk og kom tilbage igen, og at derfor denne, og ikke ham selv, skulle
være den yngste ved genforeningen. Modstriden tyder p˚a en fejl i ræsonnementet, og
det er da heller ikke vanskeligt at se, hvor tankegangen er forkert. Sagen er, at hvor
jævn bevægelse virkelig er et relativt begreb, s˚a er acceleration det ikke. Acceleration
kan m˚ales absolut. De to tvillinger er alts˚a ikke ligeberettigede: Tvillingen i hvile ved A
befinder sig stedse i et inertialsystem; tvillingen der rejser fra A til B og tilbage befinder
sig kun i et inertialsystem i den jævne del af bevægelsen.
Eksempel 3.5 Tvillingeparadokset: En returrejse til Alpha Centauri
Jordens nærmeste nabo-stjerne, Alpha Centauri, ligger 4 lys˚ar fra Jorden. Hermed menes,
at dens afstand fra Jorden tilsvarer den vejlængde, som lyset tilbagelægger p˚a 4 ˚ar, alts˚a
4 × 365.25 × 24 × 60 × 60 × 300,000 km 3.8 × 1013 km. Lad os forestille os, at den
nyfødte pige Stella sendes p˚a en returrejse til Alpha Centauri med hastigheden v = 0.8 c,
mens hendes tvillingesøster Terra forbliver tilbage p˚a Jorden. Rejsens varighed set fra
Jorden er da 10 ˚ar. Ved genforeningen er s˚aledes Terra 10 ˚ar, mens Stella ifølge (3.2)
kun er 6 ˚ar.
Ovennævnte argumentation følger umiddelbart ved at betragte rejsen fra Jordens inertialsystem.
Lad os nu se, hvorledes Stella opfatter rejsen. Set fra rumskibet bevæger Jorden
og Alpha Centauri sig med hastigheden 0.8 c. Stella ser da afstanden mellem de to
stjerner forkortet fra s0 = 4 lys˚ar til s = s0 1 − v2 /c2 = 2.4 lys˚ar, hvorfor rejsen derud
varer ∆t = 3 ˚ar. Tænker vi os nu, at Stella kigger tilbage p˚a Terra under rejsen, vil hun
se, at Terra har alderen ∆tTerra = ∆t 1 − v2 /c2 = 1.8 ˚ar, til det tidspunkt hun selv
ankommer til Alpha Centauri. Tidsrum i Jordens system forekommer jo tidsforlængede
set fra rumskibet. Idet vi imidlertid ved, at Stella returnerer til Jorden til tiden t = 10 ˚ar,
kunne vi argumentere p˚a præcis samme vis og finde, at Stella vil se, at Terra har alderen
(10 − 1.8) = 8.2 ˚ar, p˚a det tidspunkt hun selv forlader Alpha Centauri. Men er dette
ikke umuligt? Hvordan kan det g˚a til, at Stella vil se, at Terra har alderen 1.8 ˚ar, n˚ar
hun selv ankommer til Alpha Centauri og alderen 8.2 ˚ar, n˚ar hun igen forlader Alpha
Centauri? Hemmeligheden ligger i den accelererede del af rejsen, hvor Stellas rumskib
ændrer retning. Et resultat fra den generelle relativitetsteori siger, at man, hvis man
selv befinder sig i et accelereret referencesystem, vil opfatte, at tiden i ikke-accelererede
systemer g˚ar hurtigere. I tidsrummet, hvor rumskibet ændrer retning, vil Stella da se, at
Terra ældes med 10 − 2 · 1.8 = 6.4 ˚ar. Og dette uanset, hvor kortvarig den accelererede
50