Introduktion til den specielle relativitetsteori - Niels Bohr Institutet

2.8 Den relativistiske hastighedsgrænse
2.8 Den relativistiske hastighedsgrænse
For v = c bliver γ-faktoren (2.12) uendelig, og v > c fører til imaginære værdier for γ.
Af dette kan vi slutte, at den indbyrdes hastighed af to vilk˚arlige inertialsystemer m˚a
være mindre end lyshastigheden, idet endelige, reelle koordinater i ét system m˚a tilsvare
endelige, reelle koordinater i ethvert andet system. Dette er det første tegn p˚a, at ingen
partikel kan bevæge sig med en hastighed større end lysets i forhold til et inertialsystem.
Thi et sæt af s˚adanne partikler i parallel bevægelse ville udgøre et inertialsystem, som
bevægede sig med overlyshastighed i forhold til det første. Men der er andre tegn p˚a, at
hastigheden af partikler, og mere alment, af alle fysiske signaler, er begrænset af c. Vi
skal nu se, hvordan en antagelse om signalhastigheder større end lyshastigheden fører til
modstrid med det fundamentale princip om, at ˚arsag kommer før virkning, og derfor m˚a
forkastes.
Til dette, tænker vi os to begivenheder P og Q, hvor P fremkalder Q gennem udveksling
af et eller andet signal. Da P s˚aledes er ˚arsag til Q, m˚a P komme før Q i
ethvert inertialsystem. Lad os nu antage at signalet mellem de to begivenheder bevæger
sig med overlyshastigheden U > c i et inertialsystem S. Vi arrangerer S s˚aledes at begge
begivenheder finder sted p˚a x-aksen og at deres rumlige og tidslige afstande er ∆x > 0
og ∆t > 0. Der m˚a da gælde sammenhængen ∆x = U∆t. I et andet inertialsystem S ′ ,
som bevæger sig p˚a sædvanlig vis i forhold til S, har vi nu ifølge differensformen (2.16)
af Lorentz-transformationen
∆t ′ = γ
For hastigheder v, der tilfredsstiller
∆t − v∆x
c2
= γ ∆t 1 − vU
c2
. (2.24)
c 2 /U < v < c, (2.25)
bliver ∆t ′ hermed negativ. Der vil med andre ord gives inertialsystemer, i hvilke Q
kommer før P. Dette strider mod princippet om, at ˚arsagen kommer før virkningen, ˚arsag/virkning
hvorfor forudsætningen om en signalhastighed større end lyshastigheden m˚a være forkert:
c udgør alts˚a den øvre grænse for hastigheden af informationsbærende signaler. I
særdeleshed m˚a denne hastighedsgrænse da gælde for partikler, idet disse ˚abenbart kan
benyttes til overbringelse af information.
Lad os benytte lejligheden til at kontrollere at hastighedsgrænsen c virkelig sikrer
kausaliteten, alts˚a at to begivenheder, hvor den ene kan være˚arsag til den anden, kommer kausalitet
i samme rækkefølge i ethvert inertialsystem. Hertil betragter vi to begivenheder, der sker
p˚a en linie, som danner vinklen θ med x-aksen i S, og som kan forbindes med et signal
med hastigheden u ≤ c i S. Ved at erstatte U med u cos θ i (2.24) ser vi, at ∆t og ∆t ′
under disse omstændigheder har samme fortegn for enhver hastighed v mellem ±c.
P˚a trods af de ovennævnte betragtninger er der ikke noget i vejen for, at man kan overlyshastighed
realisere en “bevægelse” af et punkt med en hastighed større end lysets. Punktet kan
blot ikke være bærer af information. Et eksempel kunne være det oplyste punkt, hvis
man fra Jorden lader en laserstr˚ale feje hen over M˚anens overflade. Et andet eksempel er
31