Introduktion til den specielle relativitetsteori - Niels Bohr Institutet

Egenacceleration:
acceleration i det
inertialsystem,
hvor partiklen er i
øjeblikkelig hvile.
Øjeblikkeligt medfølgendeinertialsystem
2 Lorentz-transformationen
ct
x0
Figur 2.10: En partikel med konstant egenacceleration udfører en hyperbolsk
bevægelse.
2.10.3 Eksempel: Hyperbolsk bevægelse
Som et simpelt men vigtigt eksempel betragter vi en partikel, hvis verdenslinie i systemet
S er hyperblen
x 2 − c 2 t 2 = x 2 0 ; x > 0, (2.27)
som findes afbildet i Figur 2.10. Som funktion af tiden, kommer partiklen alts˚a fra det
positive uendelig ind langs x-aksen, hvor den ligger i øjeblikkelig hvile i x = x0 til tiden
t = 0, hvorefter den igen forsvinder ud til det positive uendelig. Det interessante ved
partiklens bevægelse er, at den har konstant egen-acceleration, hvor egenaccelerationen
er defineret som accelerationen i det inertialsystem, hvor partiklen er i øjeblikkelig hvile.
Idet partiklen jo netop er accelereret, vil et system, der til stadighed følger partiklens
bevægelse, ikke være noget inertialsystem. Men til ethvert punkt p˚a partiklens bane
kan vi tænke os et inertialsystem, som netop til det givne tidspunkt følger partiklen.
Dette system betegnes det øjeblikkeligt medfølgende inertialsystem. Systemet afbildet i
Figur 2.10 er ˚abenbart partiklens hvilesystem til tidspunktet t = 0.
Idet partiklen har konstant egenacceleration, er dens acceleration alts˚a den samme
i hele sekvensen af øjeblikkeligt medfølgende inertialsystemer. For at indse dette betragter
vi en vilk˚arlig begivenhed B p˚a verdenslinien og foretager en aktiv Lorentztransformation,
s˚aledes at B bringes til at ligge p˚a den vandrette akse. Ved denne transformation
forflyttes alle begivenheder p˚a hyperblen, men selve hyperblen ændres ikke,
idet den jo netop transformerer over i sig selv. Begivenheden B ligger alts˚a efter transformationen,
hvor begivenheden A l˚a før. Og p˚a samme m˚ade som vi før var i hvilesystemet
tilsvarende A, er vi nu i hvilesystemet tilsvarende B. Hvad end partiklens egenacceleration
var i A, har den derfor samme egenacceleration i B. Hermed er det ønskede resultat
vist. Lad os yderlige gøre den interessante iagttagelse, at en lyssignal, som afsendes langs
den positive x-akse fra begyndelsespunktet x = 0 til tiden t = 0 aldrig vil n˚a partiklen.
Tværtimod vil lyssignalet til stadighed befinde sig i afstanden x0 fra partiklen set fra
sekvensen af øjeblikkeligt medfølgende inertialsystemer.
38
A
B
x