Introduktion til den specielle relativitetsteori - Niels Bohr Institutet

3 Relativistisk kinematik
3.5.1 Parallelle hastigheder
Vi behandler her det vigtige specialtilfælde, hvor en bevægelse i S er parallel med xaksen,
og dermed i S ′ parallel med x ′ -aksen. Dens hastighed i de to systemer er dermed
henholdsvis u = ux og u ′ = u ′ x. Transformationen (3.10) reducerer da til
u ′ =
mens den omvendte transformation bliver
u − v
, (3.12)
1 − uv/c2 u = u′ + v
1 + u ′ . (3.13)
v/c2 Lad os en sidste gang kontrollere at vore transformationer tilfredsstiller Einsteins
forudsætning om at lyshastigheden er den samme i alle inertialsystemer. Til dette, betragter
vi en lysstr˚ale der bevæger sig med hastigheden u ′ = c efter x ′ -aksen i S ′ . Ved
benyttelse af (3.13) finder vi umiddelbart at lysstr˚alens hastighed i S er u = c i overensstemmelse
med forudsætningen.
3.5.2 Størrelsen af sammensatte hastigheder
Idet hastighedernes størrelser i S og S ′ er henholdsvis u = (u2 x + u2y + u2z )1/2 og u ′ =
(u ′ 2
x + u ′ 2
y + u ′ 2
z ) 1/2 , er der muligt ved at indsætte fra transformationsformlerne (3.10)
eller (3.11) at finde sammenhængen mellem u og u ′ . Vi vil imidlertid her g˚a en anden
vej, som er aritmetisk enklere. Lad os starte med at gentage sammenhængen (2.26)
dt ′ 2 (c 2 − u ′ 2 ) = dt 2 (c 2 − u 2 ), (3.14)
som betyder, at u < c medfører u ′ < c, og omvendt; at u = c medfører u ′ = c, og omvendt;
og at u > c medfører u ′ > c, og omvendt. Alts˚a resulterer enhver sammensætning af to
hastigheder, der er mindre end c, i en ny hastighed, der ligeledes er mindre end c. S˚a lige
meget hvor mange hastighedsforøgelser en partikel tildeles i dens successive hvilesystemer
(alts˚a rækken af inertialsystemer i hvilken partiklen er i øjeblikkelig hvile), s˚a vil den
aldrig opn˚a lyshastigheden.
Ved at benytte den inverse af Lorentz-transformationen (2.17) til at substituere for dt
og undervejs benytte, at dx ′ = u ′ x dt′ , tager (3.14) formen
dt ′ 2 (c 2 − u ′ 2 ) = dt ′ 2 γ 2 (v) (1 + u ′ xv/c 2 ) 2 (c 2 − u 2 ). (3.15)
Ved at forkorte igennem med dt ′ 2 f˚as efter omskrivning følgende transformationsligning
for u 2 , kvadratet p˚a hastigheden:
c 2 − u 2 = (c2 − u ′ 2 )(c2 − v2 )
c2 (1 + u ′ xv/c2 . (3.16)
) 2
Bemærk, at u ′ x v = u′ ·v, og at højresiden s˚aledes er symmetrisk i u ′ og v. Dette betyder,
at størrelsen af den resulterende hastighed, u, er den samme uanset i hvilken rækkefølge
vi sammensætter to vilk˚arlige hastigheder, v og u ′ .
52