Introduktion til den specielle relativitetsteori - Niels Bohr Institutet

6.6 Masseløse partikler
opskrive et udtryk for impulsens størrelse, som alene afhænger af E og m og naturkonstanten
c. Foretag nu grænseovergangen m → 0 og kontroller at resultatet er i overensstemmelse
med (6.19).
6.6.1 Doppler-effekten fra transformationen af fotonens 4-impuls
Vi kan nu demonstrere, hvorledes udtrykket (4.5) for den relativistiske Doppler-effekt
følger direkte af transformationsegenskaberne for fotonens 4-impuls. Til dette brug har vi
brug for et resultat fra kvantemekanikken, som siger, at en fotons energi er proportional
med dens frekvens,
E = hν (6.21)
hvor proportionalitetskonstanten h er Plancks konstant.
Lad os betragte en foton, der bevæger sig langs x-aksen i systemet S med energien E.
Den har da 4-impulsen
P = E/c (1, 1, 0, 0).
Fotonens 4-impuls i S ′ kan nu bestemmes ved hjælp af Lorentz-transformationen (5.11).
Her er vi imidlertid kun interesserede i energien, hvorfor vi nøjes med at beregne nulte-
komponenten, alts˚a
E ′ = γ(E − βE) = E
1 − β
1 + β .
Idet vi benytter proportionaliteten (6.21) af E og ν f˚as da umiddelbart relationen
ν ′
ν =
1 − β
1 + β ,
i overensstemmelse med (4.5).
P˚a tilsvarende vis kan ogs˚a transformationsegenskaberne for retningen af en fotons
bevægelse og dermed udtrykket (4.17) for lysets aberration bestemmes.
6.6.2 Eksempel: Compton-spredning
Som et eksempel p˚a anvendelsen af den relativistiske spredningsmekanik p˚a masseløse
partikler betragter vi Compton-spredningen, hvorved fotoner spredes p˚a elektroner. Vi
betragter, som skitseret p˚a Figur 6.4, en foton med energien E som støder sammen
med en hvilende elektron med massen m, og derved spredes med vinklen θ. Efter spredningsprocessen
har fotonen energien E ′ , som vi ønsker at beregne.
Vi skriver 4-impulsbevarelsen p˚a formen
Pγ + Pe = P ′ γ + P′ e ,
hvor de mærkede impulser refererer til sluttilstanden. Udtrykket kan omskrives til
P ′ e = Pγ + Pe − P ′ γ,
99