Introduktion til den specielle relativitetsteori - Niels Bohr Institutet

C Løsninger til opgaver
Lorentztransformér denne til spejlsystemet, spejl fotonen (impulsen i x-retningen
skifter fortegn) og transformér tilbage til laboratoriesystemet. Herved f˚as
og
E ′ γ = Eγγ 2 (1 + 2β cos θ1 + β 2 ),
cos θ2 = cos θ1 + 2β + β2 cos θ1
1 + 2β cos θ1 + β2 .
6.13 Udregn impulstabet af en proton i target i de to tilfælde: i) 1581 MeV/c, ii) 11.6
MeV/c. Kraften er impulsoverførsel per tidsenhed: multiplicér med antal protoner
per sekund og omregn til SI enheder: i) 4.22 × 10 −5 N; ii) 3.11 × 10 −7 N.
6.14 Opgaven regnes ved anvendelse af impuls- og energi-bevarelse og gentagne anvendelser
af den vigtige sammenhæng E 2 = p 2 c 2 + m 2 c 4 . Lad os kalde den indkommende
proton 1 og den stationære proton 2. Systemets totale energi er
Esys = E1 + E2 = (mc 2 + K) + mc 2 = 2mc 2 + K.
Systemets impuls er givet ved den indkommende protons impuls, alts˚a
E2 1 /c2 − m2c2 = (K + mc2 ) 2 /c2 − m2c2 = K2 /c2 + 2mK.
psys = p1 =
Idet θ = φ, er der symmetri mellem de to partikler i sluttilstanden. De deler dermed
b˚ade energi og impuls ligeligt. Efter stødet er 1’s impuls i x-retningen derfor
K2 /c2 + 2mK,
mens dens energi er
˜p1,x = 1
2 psys = 1
2
˜E1 = 1
2 Esys = mc 2 + 1
2 K.
Hermed kan vi beregne størrelsen af 1’s impuls
˜p = ˜E 2 1 /c2 − m2c2
= (mc2 + 1
2K)2 /c2 − m2c2 = 1
2 K2 /c2 + 4mK.
Vinklen θ er dermed givet ved
cos θ = ˜p1,x
˜p1
som ved indsættelse giver θ = 38.9◦ .
6.15 E thres
γ
= 2mc 2 (M + m)/M.
K + 2mc2 =
,
K + 4mc2 6.17 Den højeste CM-energi f˚as, n˚ar protonen og fotonen bevæger sig i modsat retning.
Ved at opskrive 4-impulsligningen og kvadrere f˚as E thres
p
som ved indsættelse af talværdier giver 2.9 × 10 20 eV.
6.20 a) Energibevarelse: 2 MeV; b) Impulsbevarelse: 23 ◦
= m π 0(m π 0 +2mp)c 4 /4Eγ,
[Bemærk: De involverede energier er her s˚a lave, at man med fordel kan anvende
den klassiske sammenhæng, K = p 2 /2m, mellem den kinetiske energi og impulsen.]
6.23 a) 25001 ˚ar; b) 10.56 ˚ar; c) 0.973 ˚ar.
132