Introduktion til den specielle relativitetsteori - Niels Bohr Institutet

5.3 Lyskegler og intervaller
5.3 Lyskegler og intervaller
Den mest grundlæggende invariante struktur i rumtiden er sættet af s˚akaldte lyskegler,
hvoraf der findes én for hvert af rumtidens punkter (begivenheder) P. En lyskegle best˚ar
af mængden af verdenslinier for samtlige fotoner der passerer igennem P, eller, med
andre ord, beliggenheden af alle begivenheder Q, der kan sende lys til eller modtage lys
fra P. Begivenhederne Q tilfredsstiller dermed ligningen
c 2 ∆t 2 − ∆x 2 − ∆y 2 − ∆z 2 = 0, (5.4)
hvor ∆’erne angiver differensen mellem koordinaterne af P og Q. Med P liggende i origo,
reducerer ligningen til c 2 t 2 −x 2 −y 2 = 0, hvis vi lader z-koordinaten ude. Denne lyskegle
genkendes p˚a Figur 5.1, hvor den som en 45 ◦ kegle udgør asymptoten mellem de to hyperboloider.
Opfattet sekventielt i tiden t i systemet S, repræsenterer denne lyskegle en
cirkulær lys-front, der først samler sig omkring begyndelsespunktet og dernæst bevæger
sig væk fra dette igen. P˚a grund af invariansen af det definerende udtryk (5.4) under en
Lorentz-transformation repræsenterer lyskeglen det samme fænomen i ethvert inertialsystem.
Dette burde ikke overraske os, idet dette præcis var, hvad vi krævede igennem
(2.8) og (2.9) under udledningen af Lorentz-transformationen. I den rigtige verden, hvor
rummet er 3-dimensionalt, er det selvfølgelig ikke en cirkulær men en sfærisk lysfront
der samler sig om begivenheden og bevæger sig væk igen. Alligevel er fænomenet kendt
under betegnelsen lyskeglen.
Figur 5.2 antyder, hvorledes der til hvert punkt p˚a en partikels verdenslinie hører en
lyskegle. Idet enhver fysisk partikel bevæger sig langsommere end c, vil dens verdenslinie
ligge indenfor enhver lyskegle, der har sit begyndelsespunkt p˚a den samme verdenslinie.
Vi vil nu undersøge den fysiske betydning af den fundamentale invariante form (5.1)
i rumtiden, eller snarere af den tilsvarende endelige version
∆s 2 ≡ c 2 ∆t 2 − ∆x 2 − ∆y 2 − ∆z 2 = ∆t 2
c 2 − ∆r2
∆t2
, (5.5)
hvor ∆-ledene henviser til to begivenheder P og Q, som ikke nødvendigvis er naboer.
Betydningen af ∆s 2 afhænger af dets fortegn, hvorfor vi har følgende tre tilfælde:
i) Det simpleste tilfælde er ∆s 2 = 0, hvor P og Q jo netop kan forbindes med et
lyssignal;
ii) I det tilfælde, hvor ∆s 2 > 0, er ∆r 2 /∆t 2 < c 2 i ethvert inertialsystem. En fysisk
partikel, og s˚aledes ogs˚a et ur, kan dermed bevæges med jævn hastighed fra P til
Q, eller omvendt. I urets hvilesystem S ′ forekommer P og Q i samme punkt, s˚aledes
at ∆s 2 = c 2 ∆t ′ 2 . Alts˚a er intervallet ∆s = |∆s 2 | mellem P og Q i dette tilfælde interval
c gange den forløbne tid (egentiden) p˚a uret, som bevæger sig jævnt og retliniet
mellem de to begivenheder.
iii) I det sidste tilfælde, hvor ∆s 2 < 0, er ∆r 2 /∆t 2 > c 2 i ethvert inertialsystem. Dette
er situationen, der karakteriserer overlyshastigheder. Som det fremg˚ar af diskussionen,
der følger (2.24) og (2.26), vil der derfor gives et inertialsystem S ′ , hvor de to
75