Introduktion til den specielle relativitetsteori - Niels Bohr Institutet

3.5 Transformation af hastigheder
del af bevægelsen m˚atte være.
Forklaringen, som Stella vil give p˚a, at Terra er ældre end hende selv ved genforeningen,
er, at Terra ældedes utrolig hurtigt i det korte tidsrum, hvor hun selv følte accelerationen,
som fik hende til at returnere mod Jorden.
3.5 Transformation af hastigheder
Lad os endnu engang betragte to inertialsystemer S og S ′ i standardkonfigurationen, og
lad u betegne den øjeblikkelige hastighed i S af en partikel eller et geometrisk punkt (for
ikke at udelukke muligheden af u ≥ c). Vi ønsker at finde hastigheden u ′ af dette punkt
i S ′ . Som i den klassiske mekanik definerer vi
og
u = (ux, uy, uz) =
dx
dt
dy dz
, , , (3.8)
dt dt
u ′ = (u ′ x, u ′ y, u ′
dx ′ dy′ dz′
z) = , ,
dt ′ dt ′ dt ′
. (3.9)
Vi begynder med x-koordinaten og finder ved anvendelse af den differentielle form af
Lorentz-transformationen (2.17)
u ′ x
dx′ dx − vdt
= = =
dt ′ dt − vdx/c2 dx/dt − v
1 − (dx/dt)(v/c2 ) = ux − v
,
1 − uxv/c2 hvor sidste skridt følger af definitionen (3.8). Ved at behandle de øvrige koordinater p˚a
tilsvarende vis finder vi transformationsligningerne
u ′ x = ux − v
1 − uxv/c 2 , u′ y =
uy
γ(1 − uxv/c 2 ) , u′ z =
uz
γ(1 − uxv/c2 . (3.10)
)
Undervejs har vi ikke gjort antagelser om at hastigheden u var jævn, og udtrykkene vil
derfor gælde helt generelt, alts˚a for den øjeblikkelige hastighed i en vilk˚arlig bevægelse.
Bemærk ligeledes hvordan de fundne udtryk reducerer til de klassiske udtryk (1.5) for
sm˚a hastigheder v ≪ c, eller hvis vi formelt lader c → ∞.
Vi opn˚ar nu de modsatte transformationer ved, som n˚ar vi g˚ar fra (2.13) til (2.14), at
erstatte v med −v i (3.10), alts˚a
ux = u′ x
+ v
1 + u ′ xv/c2 , uy =
u ′ y
γ(1 + u ′ xv/c 2 ) , uz =
u ′ z
γ(1 + u ′ xv/c2 . (3.11)
)
Disse sidste udtryk kan alternativt tolkes s˚aledes, at de giver den resulterende hastighed,
u, hvis man først tildeler en partikel hastigheden v = (v, 0, 0) og dernæst, i dets nye
hvilesystem, en ny hastighed u ′ = (u ′ x , u′ y , u′ z ). De betegnes derfor ofte som formlerne for
sammensætning af hastigheder.
51