Introduktion til den specielle relativitetsteori - Niels Bohr Institutet

2.7 Kvadrerede former
Ved at behandle de øvrige koordinater p˚a tilsvarende vis f˚as transformationsligningerne
∆x ′ = γ (∆x − v∆t),
∆y ′ = ∆y,
∆z ′ = ∆z,
∆t ′ = γ (∆t − v∆x/c 2 ).
(2.16)
Lad os dernæst betragte en bevægelse, hvor en partikel (eller et geometrisk punkt) i det
infinitesimale tidsrum dt tilbagelægger den infinitesimale vejlængde dr = (dx, dy, dz).
Vi har da
dx = x2 − x1, dy = y2 − y1, dz = z2 − z1, dt = t2 − t1,
hvor de to begivenheder P1 og P2 nu alts˚a tilsvarer nabo-punkter i s˚avel tid som rum.
P˚a samme m˚ade som ovenfor finder vi da transformationsligningerne
dx ′ = γ (dx − vdt),
dy ′ = dy,
dz ′ = dz,
dt ′ = γ (dt − vdx/c 2 ).
(2.17)
Vi ser alts˚a, at b˚ade koordinatdifferencerne og differentialerne tilfredsstiller de samme
transformationsligninger som koordinaterne selv. Dette vil selvfølgelig altid være tilfældet
for homogene, lineære transformationer. Hvert af sættene af transformationligninger
har sit eget brug. De oprindelige ligninger (2.13) tjener hovedsagelig til at transformere
enkeltbegivenheder. Differensformen har stor anvendelighed; man skal imidlertid
være meget varsom med at gøre sig klar præcis hvilke to begivenheder man betragter.
Den differentielle form er anvendelig for problemer, der omhandler bevægelse.
2.7 Kvadrerede former
Ved anvendelse af Lorentz-transformationen (2.13) kan man enkelt eftervise sammenhængen
c 2 t ′ 2 − x ′ 2 − y ′ 2 − z ′ 2 = c 2 t 2 − x 2 − y 2 − z 2 . (2.18)
Beregningerne følger dem vi foretog i forbindelse med udledningen af Lorentz-transformationen,
da vi gennem ligningerne (2.8) og (2.9) krævede, at et lysglimt skulle udbrede
sig sfærisk i s˚avel S som S ′ .
Tilsvarende kan vi ved anvendelse af henholdsvis (2.16) og (2.17) eftervise de fundamentale
identiteter
c 2 ∆t ′ 2 − ∆x ′ 2 − ∆y ′ 2 − ∆z ′ 2 = c 2 ∆t 2 − ∆x 2 − ∆y 2 − ∆z 2 , (2.19)
29