Introduktion til den specielle relativitetsteori - Niels Bohr Institutet

2 Lorentz-transformationen
Benyttelse af den relative hastighed af S og S ′
Vi vil nu udnytte, at vi kender den relative hastighed af de to systemer S og S ′ . Idet
S ′ bevæger sig med hastigheden v i forhold til S, følger det af symmetri˚arsager at S
bevæger sig med hastigheden −v i forhold til S ′ . I modsat fald ville de to systemer ikke
være ligeberettigede. Vi kræver nu, at begyndelsespunktet O ′ (x ′ = 0) har hastigheden
v set fra S. Ved derfor at sætte x ′ = 0 i første linie af (2.6) og kræve, at den resulterende
ligning tager formen x = vt, finder vi sammenhængen
v = −ρ/γ.
Tilsvarende m˚a O (x = 0) have hastigheden −v i forhold til S ′ . Ved at sætte x = 0 i (2.6)
og benytte de to resulterende udtryk for x ′ og t ′ i sammenhængen x ′ = −vt ′ , finder vi
σ = γ.
Lorentz-transformationen er da reduceret til formen
x ′ = γ (x − vt),
t ′ = γ (t − αvx),
(2.7)
hvor vi har skrevet funktionen κ p˚a formen −γαv, hvilket vil vise sig bekvemt i det
følgende. Størrelserne γ og α er nu de ukendte funktioner af v.
Sfærisk udbredelse af et lysglimt i S og S ′
For at bestemme de to størrelser γ og α og dermed fastlægge Lorentz-transformationen
betragter vi en lyskilde, som til tiden t = t ′ = 0 udsender et lysglimt fra det fælles
begyndelsespunkt i de to systemer S og S ′ . Som følge af antagelsen om lyshastighedens
invarians, vil lysglimtet udbrede sig sfærisk med hastigheden c i s˚avel S som S ′ , alts˚a
samtidig tilfredsstille de to relationer r = ct og r ′ = ct ′ , hvor r og r ′ er sfærens radius i
henholdsvis S og S ′ . Der vil alts˚a gælde
i S: x 2 + y 2 + z 2 = c 2 t 2 , (2.8)
i S ′ : x ′ 2 + y ′ 2 + z ′ 2 = c 2 t ′ 2 . (2.9)
Vi m˚a nu kræve, at Lorentz-transformationen er s˚aledes beskaffen, at lysglimtets udbredelse
tilfredsstiller begge disse udtryk.
Som et eksempel, kan vi forsøge at benytte Galilei-transformationen (1.4). Ved indsættelse
i (2.9) finder vi da
x 2 − 2xvt + v 2 t 2 + y 2 + z 2 = c 2 t 2 ,
som er i ˚abenbar modstrid med (2.8). Galilei-transformationen er derfor ikke overraskende
i modstrid med forudsætningen om lyshastighedens invarians.
26