Introduktion til den specielle relativitetsteori - Niels Bohr Institutet

2.5 Udledelse af Lorentz-transformationen
stadigt mere forfinede. Man stod s˚aledes omkring 1980 i den situation, at man kunne
m˚ale lyshastigheden betydeligt mere præcist end man kunne definere vores standardlængdeenhed,
meteren. Man valgte da i 1983 at vende argumentationen omkring, og
definere lyshastigheden til at være
c ≡ 299 792 458 m/s. (2.1)
Meteren er herefter defineret ved den længde, som et lyssignal tilbagelægger i vakuum i
1/299 792 458 s.
Som standardkoordinater for inertialsystemer anvender vi ortogonale koordinater x, y,
z. En iagttager, som tænkes i hvile i begyndelsespunktet af et inertialsystem, vil kunne
tildele koordinater til begivenheder, hvis han er udstyret med et standard-ur (f.eks. et
cæsium-ur), en teodolit1 og udstyr til at udsende og modtage lyssignaler. Afstanden til
enhver partikel kan da bestemmes ved hjælp af radar-metoden, hvor et udsendt lyssignal
(delvist) reflekteres af partiklen; afstanden f˚as da ved at multiplicere den forløbne tid
med 1c.
Idet retningen af det reflekterede lys bestemmes ved hjælp af teodolitten ligger
2
partiklens koordinater (x, y, z) herefter fast. Tiden t for reflektionsprocessen bestemmes
ved hjælp af det samme lyssignal som gennemsnittet af tiderne for udsendelsen og modtagelsen.
Skønt den ovennævnte fremgangsm˚ade er generelt anvendelig, er det begrebsmæssigt
at foretrække at aflæse en begivenheds koordinater lokalt. Til dette brug tænker vi os sm˚a
standard-ure anbragt i hvile i punkterne (mε, nε, pε), som udgør hjørnerne i et vilk˚arligt
fint, ortogonalt gitter af tynde stænger; m, n, og p løber over alle heltal, og ε er en vilk˚arlig
lille længde. Urenes rumkoordinater kan tænkes indgraveret p˚a dem. Synkronisering af
urene kan ske ved hjælp af et eller andet signal, hvis hastighed er retningsuafhængig. Et
lyssignal vil derfor kunne anvendes. Antager vi, at et kugleformet lyssignal udsendes fra
begyndelsespunktet til tiden t0, vil samtlige ure være synkroniserede, hvis de justeres
til at vise t0 + r/c, idet signalet passerer, hvor r = (x2 + y2 + z2 ) 1/2 er afstanden til
begyndelsespunktet. Efter denne kalibrering kan enhver begivenheds koordinater x, y, z
og t aflæses simpelthen ved at kigge p˚a det nærmeste ur.
I den Newtonske teori vil urene i ethvert inertialsystem simpelthen kunne overtage
den absolutte tid, og denne vil i den ovennævnte betydning være tilfredsstillende i
ethvert inertialsystem. Modsat i den specielle relativitetsteori, hvor den tid, der er tilfredsstillende
i ét inertialsystem, vil bryde med isotropien i et andet inertialsystem, hvis
den overtages direkte. Det er derfor nødvendig i ethvert inertialsystem at foretage en
uafhængig synkronisering af urene.
2.5 Udledelse af Lorentz-transformationen
Ligesom Galilei-transformationen skal Lorentz-transformationen sammenknytte en begivenheds
koordinater (x, y, z, t) i et inertialsystem S med dens koordinater (x ′ , y ′ , z ′ , t ′ ) i
1 Et instrument som landm˚alere benytter til bestemmelse af vinkler.
23